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哈夫曼树的介绍
Huffman Tree，中文名是哈夫曼树或霍夫曼树，它是最优二叉树。
定义：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若树的带权路径长度达到最小，则这棵树被称为哈夫曼树。 这个定义里面涉及到了几个陌生的概念，下面就是一颗哈夫曼树，我们来看图解答。
（1） 路径和路径长度
定义：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。
例子：100和80的路径长度是1，50和30的路径长度是2，20和10的路径长度是3。
（2） 结点的权及带权路径长度
定义：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
例子：节点20的路径长度是3，它的带权路径长度= 路径长度 * 权 = 3 * 20 = 60。
（3） 树的带权路径长度
定义：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。
例子：示例中，树的WPL= 1*100 + 2*50 + 3*20 + 3*10 = 100 + 100 + 60 + 30 = 290。
比较下面两棵树
上面的两棵树都是以{10， 20， 50， 100}为叶子节点的树。
左边的树WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360
右边的树WPL=290
左边的树WPL 》 右边的树的WPL。你也可以计算除上面两种示例之外的情况，但实际上右边的树就是{10，20，50，100}对应的哈夫曼树。至此，应该对哈夫曼树的概念有了一定的了解了，下面看看如何去构造一棵哈夫曼树。
哈夫曼树的图文解析
假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，哈夫曼树的构造规则为：
1. 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林（每棵树仅有一个结点）；
2. 在森林中选出根结点的权值最小的两棵树进行合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；
3. 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；
4. 重复（02）、（03）步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。
以{5，6，7，8，15}为例，来构造一棵哈夫曼树。
第1步：创建森林，森林包括5棵树，这5棵树的权值分别是5，6，7，8，15。
第2步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树（5和6）来进行合并，将它们作为一颗新树的左右孩子（谁左谁右无关紧要，这里，我们选择较小的作为左孩子），并且新树的权值是左右孩子的权值之和。即，新树的权值是11。 然后，将“树5”和“树6”从森林中删除，并将新的树（树11）添加到森林中。
第3步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树（7和8）来进行合并。得到的新树的权值是15。 然后，将“树7”和“树8”从森林中删除，并将新的树（树15）添加到森林中。
第4步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树（11和15）来进行合并。得到的新树的权值是26。 然后，将“树11”和“树15”从森林中删除，并将新的树（树26）添加到森林中。
第5步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树（15和26）来进行合并。得到的新树的权值是41。 然后，将“树15”和“树26”从森林中删除，并将新的树（树41）添加到森林中。
此时，森林中只有一棵树（树41）。这棵树就是我们需要的哈夫曼树！
哈夫曼树是一种树形结构，用哈夫曼树的方法解编程题的算法就叫做哈夫曼算法。树并不是指植物，而是一种数据结构，因为其存放方式颇有点象一棵树有树叉因而称为树。 最简哈夫曼树是由德国数学家冯。哈夫曼 发现的，此树的特点就是引出的路程最短。
哈夫曼算法
哈夫曼树是一种树形结构，用哈夫曼树的方法解编程题的算法就叫做哈夫曼算法。树并不是指植物，而是一种数据结构。
定义：它是由n个带权叶子结点构成的所有二叉树中带权路径长度最短的二叉树。因为这种树最早由哈夫曼（Huffman）研究，所以称为哈夫曼树，又叫最优二叉树。
构造哈夫曼树
［html］ view plain copy/*
* 创建Huffman树
*
* @param 权值数组
*/
public Huffman（int a［］） {
HuffmanNode parent = null;
MinHeap heap;
// 建立数组a对应的最小堆
heap = new MinHeap（a）;
for（int i=0; i《a.length-1; i++） {
HuffmanNode left = heap.dumpFromMinimum（）; // 最小节点是左孩子
HuffmanNode right = heap.dumpFromMinimum（）; // 其次才是右孩子
// 新建parent节点，左右孩子分别是left/right；
// parent的大小是左右孩子之和
parent = new HuffmanNode（left.key+right.key， left， right， null）;
left.parent = parent;
right.parent = parent;
// 将parent节点数据拷贝到“最小堆”中
heap.insert（parent）;
}
mRoot = parent;
// 销毁最小堆
heap.destroy（）;
}
首先创建最小堆，然后进入for循环。
每次循环时：
（1） 首先，将最小堆中的最小节点拷贝一份并赋值给left，然后重塑最小堆（将最小节点和后面的节点交换位置，接着将“交换位置后的最小节点”之前的全部元素重新构造成最小堆）；
（2） 接着，再将最小堆中的最小节点拷贝一份并将其赋值right，然后再次重塑最小堆；
（3） 然后，新建节点parent，并将它作为left和right的父节点；
（4） 接着，将parent的数据复制给最小堆中的指定节点。
哈夫曼算法原理
1952年， David A. Huffman提出了一个不同的算法，这个算法可以为任何的可能性提供出一个理想的树。香农-范诺编码（Shanno-Fano）是从树的根节点到叶子节点所进行的的编码，哈夫曼编码算法却是从相反的方向，暨从叶子节点到根节点的方向编码的。
1.为每个符号建立一个叶子节点，并加上其相应的发生频率
2.当有一个以上的节点存在时，进行下列循环：
1）把这些节点作为带权值的二叉树的根节点，左右子树为空
2）选择两棵根结点权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树，且至新的二叉树的根结点的权值为其左右子树上根结点的权值之和。
3）把权值最小的两个根节点移除
4）将新的二叉树加入队列中。
5）最后剩下的节点暨为根节点，此时二叉树已经完成。
哈夫曼树的应用
哈夫曼编码：
哈夫曼树可以直接应用于通信及数据传送中的二进制编码。设： D=｛d1，d2，d3…dn｝为需要编码的字符集合。
W=｛w1，w2，w3，…wn｝为D中各字符出现的频率。 现要对D中的字符进行二进制编码，使得：
（1） 按给出的编码传输文件时，通信编码的总长最短。
（2） 若di不等于dj，则di的编码不可能是dj的编码的开始部分（前缀）。
满足上述要求的二进制编码称为最优前缀编码。 上述要求的第一条是为了提高传输的速度，第二条是为了保证传输的信息在译码时无二性，所以在字符的编码中间不需要添加任意的分割符。
对于这个问题，可以利用哈夫曼树加以解决：用d1，d2，d3…dn作为外部结点，用w1，w2，w3…wn作为外部结点的权，构造哈夫曼树。在哈夫曼树中把从每个结点引向其左子结点的边标上二进制数“0”，把从每个结点引向右子节点的边标上二进制数“1”，从根到每个叶结点的路径上的二进制数连接起来，就是这个叶结点所代表字符的最优前缀编码。通常把这种编码称为哈夫曼编码。例如：
D=｛d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，d8，d9，d10，d11，d12，d13｝ W=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41｝ 利用哈夫曼算法构造出如下图所示的哈夫曼树：
从而得到各字符的编码为：
d1:1011110 d2:1011111
d3:101110 d4:10110
d5:0100 d6:0101
d7:1010 d8:000
d9:001 d10:011
d11:100 d12:110
d13:111
编码的结果是，出现频率大的字符其编码较短，出现频率较小的字符其编码较长。
哈夫曼算法实现
实现的时候我们用vector《bool》记录每个char的编码；用map《char，vector《bool》》表示整个字典；
就得到了下面的代码（下面有两个，一对一错）：
先放出来这个错的，以示警戒：
［cpp］ view plain copy/************************************************************************/
/* File Name： Huffman.cpp
* @Function： Lossless Compression
@Author： Sophia Zhang
@Create Time： 2012-9-26 10:40
@Last Modify： 2012-9-26 11:10
*/
/************************************************************************/
#include“iostream”
#include “queue”
#include “map”
#include “string”
#include “iterator”
#include “vector”
#include “algorithm”
using namespace std;
#define NChar 8 //suppose use at most 8 bits to describe all symbols
#define Nsymbols 1《《NChar //can describe 256 symbols totally （include a-z， A-Z）
typedef vector《bool》 Huff_code;//8 bit code of one char
map《char，Huff_code》 Huff_Dic; //huffman coding dictionary
class HTree
{
public ：
HTree* left;
HTree* right;
char ch;
int weight;
HTree（）{left = right = NULL; weight=0;}
HTree（HTree* l，HTree* r，int w，char c）{left = l; right = r; weight=w; ch=c;}
~HTree（）{delete left; delete right;}
int Getweight（）{return weight？weight:left-》weight+right-》weight;}
bool Isleaf（）{return ！left && ！right; }
bool operator 《 （const HTree tr） const
{
return tr.weight 《 weight;
}
};
HTree* BuildTree（int *frequency）
{
priority_queue《HTree*》 QTree;
for （int i=0;i《Nsymbols;i++）
{
if（frequency［i］）
QTree.push（new HTree（NULL，NULL，frequency［i］，（char）i））;
}
//build
while （QTree.size（）》1）
{
HTree* lc = QTree.top（）;
QTree.pop（）;
HTree* rc = QTree.top（）;
QTree.pop（）;
HTree* parent = new HTree（lc，rc，parent-》Getweight（），（char）256）;
QTree.push（parent）;
}
//return tree root
return QTree.top（）;
}
void Huffman_Coding（HTree* root， Huff_code& curcode）
{
if（root-》Isleaf（））
{
Huff_Dic［root-》ch］ = curcode;
return;
}
Huff_code& lcode = curcode;
Huff_code& rcode = curcode;
lcode.push_back（false）;
rcode.push_back（true）;
Huffman_Coding（root-》left，lcode）;
Huffman_Coding（root-》right，rcode）;
}
int main（）
{
int freq［Nsymbols］ = {0};
char *str = “this is the string need to be compressed”;
//statistic character frequency
while （*str！=‘\0’）
freq［*str++］++;
//build tree
HTree* r = BuildTree（freq）;
Huff_code nullcode;
nullcode.clear（）;
Huffman_Coding（r，nullcode）;
for（map《char，Huff_code》：：iterator it = Huff_Dic.begin（）; it ！= Huff_Dic.end（）; it++）
{
cout《《（*it）.first《《‘\t’;
Huff_code vec_code = （*it）.second;
for （vector《bool》：：iterator vit = vec_code.begin（）; vit！=vec_code.end（）;vit++）
{
cout《《（*vit）《《endl;
}
}
}
上面这段代码，我运行出来不对。在调试的时候发现了一个问题，就是QTree优先队列中的排序出了问题，说来也是，上面的代码中，我重载小于号是对HTree object做的；而实际上我建树时用的是指针，那么优先级队列中元素为指针时该怎么办呢？
那我们将friend bool operator 》（Node node1，Node node2）修改为friend bool operator 》（Node* node1，Node* node2），也就是传递的是Node的指针行不行呢？
答案是不可以，因为根据c++primer中重载操作符中讲的“程序员只能为类类型或枚举类型的操作数定义重载操作符，在把操作符声明为类的成员时，至少有一个类或枚举类型的参数按照值或者引用的方式传递”，也就是说friend bool operator 》（Node* node1，Node* node2）形参中都是指针类型的是不可以的。我们只能再建一个类，用其中的重载（）操作符作为优先队列的比较函数。
就得到了下面正确的代码：
［cpp］ view plain copy/************************************************************************/
/* File Name： Huffman.cpp
* @Function： Lossless Compression
@Author： Sophia Zhang
@Create Time： 2012-9-26 10:40
@Last Modify： 2012-9-26 12:10
*/
/************************************************************************/
#include“iostream”
#include “queue”
#include “map”
#include “string”
#include “iterator”
#include “vector”
#include “algorithm”
using namespace std;
#define NChar 8 //suppose use 8 bits to describe all symbols
#define Nsymbols 1《《NChar //can describe 256 symbols totally （include a-z， A-Z）
typedef vector《bool》 Huff_code;//8 bit code of one char
map《char，Huff_code》 Huff_Dic; //huffman coding dictionary
/************************************************************************/
/* Tree Class elements：
*2 child trees
*character and frequency of current node
*/
/************************************************************************/
class HTree
{
public ：
HTree* left;
HTree* right;
char ch;
int weight;
HTree（）{left = right = NULL; weight=0;ch =‘\0’;}
HTree（HTree* l，HTree* r，int w，char c）{left = l; right = r; weight=w; ch=c;}
~HTree（）{delete left; delete right;}
bool Isleaf（）{return ！left && ！right; }
};
/************************************************************************/
/* prepare for pointer sorting*/
/*because we cannot use overloading in class HTree directly*/
/************************************************************************/
class Compare_tree
{
public：
bool operator （） （HTree* t1， HTree* t2）
{
return t1-》weight》 t2-》weight;
}
};
/************************************************************************/
/* use priority queue to build huffman tree*/
/************************************************************************/
HTree* BuildTree（int *frequency）
{
priority_queue《HTree*，vector《HTree*》，Compare_tree》 QTree;
//1st level add characters
for （int i=0;i《Nsymbols;i++）
{
if（frequency［i］）
QTree.push（new HTree（NULL，NULL，frequency［i］，（char）i））;
}
//build
while （QTree.size（）》1）
{
HTree* lc = QTree.top（）;
QTree.pop（）;
HTree* rc = QTree.top（）;
QTree.pop（）;
HTree* parent = new HTree（lc，rc，lc-》weight+rc-》weight，（char）256）;
QTree.push（parent）;
}
//return tree root
return QTree.top（）;
}
/************************************************************************/
/* Give Huffman Coding to the Huffman Tree*/
/************************************************************************/
void Huffman_Coding（HTree* root， Huff_code& curcode）
{
if（root-》Isleaf（））
{
Huff_Dic［root-》ch］ = curcode;
return;
}
Huff_code lcode = curcode;
Huff_code rcode = curcode;
lcode.push_back（false）;
rcode.push_back（true）;
Huffman_Coding（root-》left，lcode）;
Huffman_Coding（root-》right，rcode）;
}
int main（）
{
int freq［Nsymbols］ = {0};
char *str = “this is the string need to be compressed”;
//statistic character frequency
while （*str！=‘\0’）
freq［*str++］++;
//build tree
HTree* r = BuildTree（freq）;
Huff_code nullcode;
nullcode.clear（）;
Huffman_Coding（r，nullcode）;
for（map《char，Huff_code》：：iterator it = Huff_Dic.begin（）; it ！= Huff_Dic.end（）; it++）
{
cout《《（*it）.first《《‘\t’;
std：：copy（it-》second.begin（），it-》second.end（），std：：ostream_iterator《bool》（cout））;
cout《《endl;
}
}
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