加权矩阵Q和R的选择 - 单级倒立摆控制系统的稳定性算法设计

　　在选取Q和R时，主要从以下几方面考虑：

　　(1)Q是正定或半正定矩阵，R是正定矩阵。

　　(2)Q阵中对角线上的元素与状态变量一一对应，数值越大，则表示该状态变量对系统的影响越显著。

　　(3)加权矩阵R不要过小，否则会导致控制量的增大。控制量太大会超过系统执行机构的能力，R阵也不要太大，否则控制作用太小会影响控制性能。

　　综合以上考虑，取Q=diag([100，100，100，100])，R=1，利用Matlab提供的LQR函数，可得控制器的增益矩阵：

　　K=[-10.000 0 -24.140 8 250.036 0 158.553 3]

　　3.3 利用遗传算法优化Q阵

　　遗传算法是一种基于生物界中的自然选择原理和自然遗传机制的随机搜索算法，它模拟了生物界中的生命进化机制，并用在人工系统中实现特定目标的优化。

　　采用遗传算法优化加权阵Q的具体步骤如下：

　　(1)选择编码策略，把参数转换成染色体结构空间。

　　(2)确定解码方法。

　　(3)确定优化目标函数的类型及数学描述形式，在LQR最优控制中取目标函数J，J=trace(P)。

　　(4)设计遗传算子。

　　(5)确定遗传策略。设群体大小为80，最大迭代次数为200，交叉概率选为0.9，变异概率选为0.01，并随机产生初始群体。

　　(6)计算群体中的个体或染色体解码后的适应值。在本设计中将适应值取为目标函数值的倒数，即f=1/J。

　　(7)进行遗传算法搜索过程，即采用随机采样的方法选择个体，通过交叉和变异产生新个体，再计算新个体的目标函数值J’。

　　(8)判断群体性能是否满足指标或者是否完成迭代次数，若不满足则重复步骤(7)。

　　通过上述算法即可确定使目标函数值最小加权矩阵Q中待优化元素的值，从而确定反馈控制规律的向量K。

　　4 仿真结果及分析

　　取Q=diag([100，100，100，100])，R=1时，得到的一级倒立摆仿真波形如图3所示。由图可见，小车经过5.2 s达到平衡，而摆角经过6.5 s达到平衡。对Q阵优化后系统响应超调量减少，响应速度加快，调节时间减少，系统的静态特性和动态特性都得到改善，如图4所示。

　　5 结语

　　本文利用拉格朗日方程建立了直线一级倒立摆控制系统的数学模型，在此基础上分析了该系统的性能，并利用LQR控制器进行控制。结果表明，LQR控制器对该系统具有良好的控制作用。