布尔代数,布尔代数是什么意思

布尔代数,布尔代数是什么意思

布尔代数最初是作为对逻辑思维法则的研究出现的。英国哲学家George Boole于1847年的论文“逻辑之数学分析”及“思维法则之研究”中引入了布尔代数。本世纪30年代C.E. Shannon发表了“继电器和开关电路的符号分析”一文，为布尔代数在工艺技术中的应用开创了道路。50年代苏联科学家把布尔代数发展成为接点网络实用中的通用理论，从而使布尔代数成为计算机科学中的重要基础理论。

从逻辑上讲，布尔代数是一个命题演算系统;

从抽象代数观点讲，布尔代数是一个代数系统;

从集合的观点讲，它是一个集合代数;

从工程技术的观点讲，布尔代数是电路代数，电子线路的设计离不开它;

布尔代数的基本定义和性质：

反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。

运用反演规则时应注意两点：

①不能破坏原式的运算顺序——先算括号里的，然后按“先与后或”的原则运算。

②不属于单变量上的非号应保留不变.

对偶原理:

在布尔代数中，若P是某个已经得到证明的定理，将定理中的条件和结论(1) ⊕与⊙互换; (2) 0与1 互换则由此而得的新定理仍然成立.

布尔代数的原子表示:

推论 有限布尔代数的基数一定为2的幂次;

布尔表达式及其范式定理:

定义1 设< S，⊕，⊙，′，0，1>为布尔代数，则S中的元素称为布尔常元; 取值于S中的变元称为布尔变量(Boole Variable)。

定义2 设< S，⊕，⊙，′，0，1>为布尔代数，x1，x2，…，xn为布尔变元，则由这n个布尔变元产生的布尔表达式(Boole Expression)可递归定义如下:

1)S中的任何元素和变元为一个布尔表达式;

2)若F和G都是布尔式，则F′，F⊕G，F⊙G也是布尔式;

3)只有有限次使用1)或2)构造而成的符号串才是一个布尔式;

(a)为了简便起见，规定⊕的运算优先级低于⊙

(b) 任一n元布尔式都可定义为是一个从Sn到S的一个函数;

(c)两个布尔式相等:

布尔表达式f(x1，x2，…，xn)的值是将S中的元素作为xi（i=1，2，…，n）的值代入表达式以后计算出来的表达式的值;

若对n个布尔变元的任意指派(即给每个变元取上S中的元素)，两个布尔表达式的值均相等，则称这两个布尔表达式是相等或等价的。

2) 任何两个不同小项的布尔积(⊙)为0，任何两个不同大项的布尔和(⊕)为1; 所有不同小项的布尔和为1;所有不同大项的布尔积为0;

3) 大项(小项)的补是一个小项(大项);

定理(范式定理)在布尔代数< S，⊕，⊙，′，0，1>中每个n元布尔表达均可表示成:

f(x1，x2，…，xn)= ⊕k (ck⊙mk) 其中k=δ1δ2…δn

f(x1，x2，…，xn)= ⊙l (dl⊕Ml) 其中l=σ1σ2…σn

其中ck= f(δ1，δ2，…，δn)，dl= f(σ1，σ2，…，σn)

定义5 在布尔代数< S，⊕，⊙，′，0，1>中，一个S上的n元函数，如果能表示成n元布尔表达式，则称之为布尔函数。

特别地当S={0，1}时，即二值布尔代数S上的n元布尔式均是布尔函数。其中二值布尔式的主析(合)取范式就是小(大)项的布尔和(积)。

如何求一个二值布尔式的主析取范式和主合取范式:

1)列表法

注：同一布尔式的主合取范式中大项的项数和主析取范式中小项的项数之和等于2n。

2) 布尔代数性质法

注:若f的主析取范式为g，则f′的主析取范式就是2n个小项中不在g中出现的小项的布尔和h，且h′就是f的主合取范式;反之，若f的主合取范式为g，则f′的主合取范式就是2n个大项中不在g中出现的大项的布尔积h，且h′就是f的主析取范式;

布尔式的范式定理与布尔式的简化在电子线路中的应用:

二值布尔代数可用于逻辑电路的设计。具有若干输入和某种逻辑功能的组合线路可以用一个定义在电路代数上的电路函数表示，而一个电路函数则可以用二值布尔式来表示。但是，表示同一种逻辑功能的电路函数可以有许多种，那么用其中最简单的电路函数来设计组合线路，是一个经济、可靠、简便的方法。

另外，布尔代数的应用极为广泛，其中最明显的是在计算机技术中分析、综合、设计逻辑电路中的应用。

我们将若干个开关的串联与并联构成的电路称为开关电路。整个开关电路从功能上可看作是一个开关，把电路接通记为1，把电路断开记为0。

一个具有n个独立开关组成的开关电路称为n元开关电路，可以写成一个二值n元布尔式。开关是一种具有一个输入和一个输出的器件。对于多输入单输出的情形则可以用逻辑门电路来实现。逻辑门电路可以用来作与、或、非等逻辑运算，一个逻辑门的输出可以用为另一个逻辑门的输入。这样得到的逻辑电路可以用一个布尔式表示。通过对逻辑电路所对应的布尔式进行化简，我们就能分析电路有功能，并简化电路，既降低成本又提高可靠性。