原码乘法,原码乘法原理详解

　　
图2.4 m×n位不带符号的阵列乘法器逻辑图

　　2.不带符号的阵列乘法器
　　
　　设有两个不带符号的二进制整数：
　　
　　A=a_m-1…a₁a₀　
　　B=b_n-1…b₁b₀
　　
　　它们的数值分别为a和b，即

在二进制乘法中，被乘数A与乘数B相乘，产生m＋n位乘积P：
　　
　　P=p_m+n-1…p₁p₀
　　
　　乘积P 的数值为

   
　　
　　
　　实现这个乘法过程所需要的操作和人们的习惯方法非常类似：
　　
　　
　　
　　上述过程说明了在m位乘n位不带符号整数的阵列乘法中，“加法—移位”操作的被加数矩阵。每一个部分乘积项(位积)a_ib_j叫做一个被加数。
　　
　　这m×n个被加数{a_ib_j|0≤i≤m-1和0≤j≤n-1}
　　
　　可以用m×n个“与”门并行地产生。显然，设计高速并行乘法器的基本问题，就在于缩短被加数矩阵中每列所包含的1的加法时间。

这种乘法器要实现n位×n位时，需要n(n-1)个全加器和n²个“与”门。该乘法器的总的乘法时间可以估算如下：
　　
　　令T_a为“与门”的传输延迟时间，T_f为全加器(FA)的进位传输延迟时间，假定用2级“与非”逻辑来实现FA的进位链功能，那么我们就有：
　　
　　T_a = T_f = 2T
　　
　　从演示中可知，最坏情况下延迟途径，即是沿着矩阵P4垂直线和最下面的一行。因而得n位×n位不带符号的阵列乘法器总的乘法时间为：
　　
　　t_m=T_a+(n-1)×6T＋(n-1)×T_f　
　　=2T＋(n-1)×6T＋(n-1)×2T=(8n-6)T　　　　　(2.27)
　　
　　[例16] 已知两个不带符号的二进制整数A=11011，B=10101，求每一部分乘积项a_ib_j的值与p₉p₈……p₀的值。
　　
　　[解:]

   
　　a₄b₀=1 a₃b₀=1 a₂b₀=0 a₁b₀=1 a₀b₀=1　　
　　a₄b₁=0 a₃b₁=0 a₂b₁=0 a₁b₁=0 a₀b₁=0
　　a₄b₂=1 a₃b₂=1 a₂b₂=0 a₁b₂=1 a₀b₂=0　
　　a₄b₃=0 a₃b₃=0 a₂b₃=0 a₁b₃=0 a₀b₃=0
　　a₄b₄=1 a₃b₄=1 a₂b₄=0 a₁b₄=1 a₀b₄=1
　
　　P=p₉p₈p₇p₆p₅p₄p₃p₂p₁p₀=1000110111(567₁₀)

3.带符号的阵列乘法器
　　
　　(1) 对2求补器电路
　　
　　我们先来看看算术运算部件设计中经常用到的求补电路。一个具有使能控制的二进制对2求补器电路图，其逻辑表达式如下：
　　
　　C_-1=0，　 C_i=a_i+C_i-1
　　
　　a_i*=a_i⊕EC_i-1，　　　0≤i≤n
　　
　　在对2求补时，要采用按位扫描技术来执行所需要的求补操作。令A=an…a1a0是给定的(n＋1)为带符号的数，要求确定它的补码形式。进行求补的方法就是从数的最右端a0开始，，由右向左，直到找出第一个“1”，例如ai=1， 0≤i≤n。这样，ai以左的每一个输入位都求反，即1变0，0变1。最右端的起始链式输入C-1必须永远置成“0”。当控制信号线E为“1”时，启动对2求补的操作。当控制信号线E为“0”时，输出将和输入相等。显然，我们可以利用符号位来作为控制信号。　　
　　
　　例如，在一个4位的对2求补器中，，如果输入数为1010，那么输出数应是0110，其中从右算起的第2位，就是所遇到的第一个“1”的位置。用这种对2求补器来转换一个(n＋1)为带符号的数，所需的总时间延迟为
　　
　　t_TC=n·2T＋5T=(2n＋5)T　　　　　　(2.28)
　　
　　其中每个扫描级需2T延迟，而5T则是由于“与”门和“异或”门引起的。

(2) 带符号的阵列乘法器
　　
　　(n＋1)×(n＋1)位带求补器的阵列乘法器逻辑方框图

　　通常，把包括这些求补级的乘法器又称为符号求补的阵列乘法器。在这种逻辑结构中，共使用三个求补器。其中两个算前求补器的作用是：将两个操作数A和B在被不带符号的乘法阵列(核心部件)相乘以前，先变成正整数。而算后求补器的作用则是：当两个输入操作数的符号不一致时，把运算结果变成带符号的数。
　　
　　设A=a_na_n-1…a₁a₀和B=b_nb_n-1…b₁b₀均为用定点表示的(n＋1)位带符号整数。在必要的求补操作以后，A和B的码值输送给n×n位不带符号的阵列乘法器，并由此产生2n位真值乘积:
　　
　　A·B=P=p_2n-1…p₁p₀　　
　　p_2n=a_n⊕b_n
　　
　　其中P_2n为符号位。
　　
　　上面所示的带求补级的阵列乘法器既适用于原码乘法，也适用于间接的补码乘法。不过在原码乘法中，算前求补和算后求补都不需要，因为输入数据都是立即可用的。而间接的补码阵列乘法所需要增加的硬件较多。为了完成所必需的乘法操作，时间大约比原码阵列乘法增加1倍。

[例17] 设ｘ=＋15，ｙ=-13，用带求补器的原码阵列乘法器求出乘积ｘ·ｙ=？
　　
　　[解:]
　　
　　设最高位为符号位，则输入数据为
　　
　　[ｘ]_原=01111　　[ｙ]_原=11101
　　
　　符号位单独考虑，算前求补级后 |ｘ|=1111，|ｙ|=1101

　　算后经求补级输出并加上乘积符号位1，则原码乘积值为111000011。
　　
　　换算成二进制数真值是
　　
　　ｘ·ｙ=( -11000011)₂=(-195)₁₀
　　
　　十进制数验证：ｘ×ｙ = 15× (-13) = -195相等。
　　
　　[例18] 设ｘ=＋15，ｙ=-13，用带求补器的补码阵列乘法器求出乘积ｘ·ｙ=？
　　
　　[解:]
　　
　　设最高位为符号位，则输入数据用补码表示为
　　
　　[ｘ]_补=01111　　　 [ｙ]_补=10011
　　
　　符号位单独运算，x₀⊕y₀=0+1=1
　　
　　尾数部分算前求补器输出为: |ｘ|=1111，|ｙ|=1101

　　算后求补器输出为00111101，加符号位1，得
　　
　　[ｘ·ｙ]_补=100111101
　　
　　补码二进制数真值是
　　
　　ｘ·ｙ=-1×2⁸+1×2⁵+1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2⁰=(-195)₁₀
　　
　　十进制数验证：     ｘ×ｙ=(+15)×(-13)=-195相等。