二进制数值数据的编码与运算算法

二进制数值数据的编码与运算算法

一、原码、反码、补码的定义

1、原码的定义

2、补码的定义

3、反码的定义

4.移码：移码只用于表示浮点数的阶码，所以只用于整数。

①移码的定义：设由1位符号位和n位数值位组成的阶码，则 [X] 移 =2^ n + X     -2^ n ≤X ≤ 2^ n
例如： X=＋1011 [X] 移 =11011 符号位“1”表示正号
X=－1011 [X] 移 =00101 符号位“0”表示负号

②移码与补码的关系： [X]移与[X]补的关系是符号位互为反码，
例如： X=＋1011 [X] 移 =11011 [X] 补 =01011
X=－1011 [X] 移 =00101 [X] 补 =10101

③移码运算应注意的问题：
◎对移码运算的结果需要加以修正，修正量为2^n ，即对结果的符号位取反后才是移码形式的正确结果。
◎移码表示中，0有唯一的编码——1000…00，当出现000…00时（表示－2^n ），属于浮点数下溢。

二、补码加、减运算规则

1、运算规则

[X＋Y] 补 = [X] 补 ＋ [Y] 补
[X－Y] 补 = [X] 补 ＋ [－Y] 补

若已知[Y] 补 ，求[－Y] 补 的方法是：将[Y] 补 的各位（包括符号位）逐位取反再在最低位加1即可。
例如：[Y] 补 = 101101 [－Y] 补 = 010011

2、溢出判断，一般用双符号位进行判断：

符号位00 表示正数 11 表示负数
结果的符号位为01时，称为上溢；为10时，称为下溢

例题：设x=0.1101，y=－0.0111，符号位为双符号位
用补码求x+y，x－y
[x]补+[y]补=00 1101+11 1001=00 0110
[x－y]补=[x]补+[－y]补=00 1101+00 0111=01 0100
结果错误，正溢出

三、原码一位乘的实现：

设X=0.1101，Y=－0. 1011，求X*Y
解：符号位单独处理， x 符 ＋ y 符
数值部分用原码进行一位乘，如下图所示：

四、原码一位除的实现：一般用不恢复余数法（加减交替法）

§2.5 浮点运算与浮点运算器

一、浮点数的运算规则

1、浮点加减法的运算步骤

设两个浮点数 X=Mx※2Ex Y=My※2Ey
实现X±Y要用如下5步完成：
①对阶操作：小阶向大阶看齐
②进行尾数加减运算
③规格化处理：尾数进行运算的结果必须变成规格化的浮点数，对于双符号位的补码尾数来说，就必须是
001×××…×× 或110×××…××的形式
若不符合上述形式要进行左规或右规处理。

④舍入操作：在执行对阶或右规操作时常用“0”舍“1”入法将右移出去的尾数数值进行舍入，以确保精度。
⑤判结果的正确性：即检查阶码是否溢出
若阶码下溢（移码表示是00…0），要置结果为机器0；
若阶码上溢（超过了阶码表示的最大值）置溢出标志。

例题：假定X=0 .0110011*2^11 ，Y=0.1101101*2^-10 （此处的数均为二进制） ?? 计算X+Y；
解：[X] 浮 ： 0 1 010 1100110
[Y] 浮 ： 0 0 110 1101101
符号位 阶码 尾数

第一步：求阶差： │ΔE│=|1010-0110|=0100
第二步：对阶：Y的阶码小， Y的尾数右移4位
[Y] 浮 变为 0 1 010 0000110 1101暂时保存
第三步：尾数相加，采用双符号位的补码运算
00 1100110
+00 0000110
00 1101100
第四步规格化：满足规格化要求
第五步：舍入处理，采用0舍1入法处理
故最终运算结果的浮点数格式为： 0 1 010 1101101，
即X+Y=+0. 1101101*2^10

2、浮点乘除法的运算步骤

①阶码运算：阶码求和（乘法）或阶码求差（除法）
即 [Ex+Ey]移= [Ex]移+ [Ey]补
[Ex－Ey]移= [Ex]移+ [－Ey]补

②浮点数的尾数处理：浮点数中尾数乘除法运算结果要进行舍入处理
例题：X=0 .0110011*2^11 ，Y=0.1101101*2^-10
求X※Y
解：[X] 浮 ： 0 1 010 1100110
[Y] 浮 ： 0 0 110 1101101
第一步：阶码相加
[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]补=1 010+1 110=1 000
1 000为移码表示的0
第二步：原码尾数相乘的结果为：
0 10101101101110
第三步：规格化处理：已满足规格化要求，不需左规，尾数不变，阶码不变。
第四步：舍入处理：按舍入规则，加1进行修正
所以 X※Y= 0.1010111※2^+000