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PBFT的数学证明
在实际的拜占庭容错中，如果N = 3F + 1，N个节点的系统可以容忍F个故障节点。
实际拜占庭容错系统中的每个决策都需要2F + 1批准，其中Fare是故障节点。
我们现在将在数学上证明上述两个定义，它们是彼此的推论。以下计算是斯坦福大学笔记中数学的简化。
分布式系统的两个重要特性是活跃性和安全性。
活跃性
活跃性是系统继续运行时在分布式系统环境中使用的术语。这意味着即使出现一些错误，系统也不会停止运行。在区块链的情况下，活跃意味着系统将继续向链中添加新的区块，并且在任何时候系统都不会停止工作。
安全性
当系统收敛于单个决策时，安全性是分布式系统环境中使用的术语。在分布式系统中，节点可能会分成两个决策或进一步拆分，分布式系统的安全性确保了即使存在故障节点，网络也会在所有可靠节点上以单个决策结束。
证明
非拜占庭式故障
给定网络中的N个节点，具有f个故障节点，保证活跃性和安全性所需的仲裁大小Q是多少？
仲裁定义为网络正常运行和做出有效决策所需的最小节点数。仲裁由诚实的节点组成。
活跃度
为了避免网络停止，必须至少存在一个非故障节点。因此，为了活跃度：
Q 《= N - f
安全度
为了避免网络分裂成多个决策，大多数决策者应该在线。我们需要一个诚实的多数，仲裁大小应该大于节点总数的一半，以便我们做出有利于我们的决定。
因此，为了安全：
Q 》 N/2
2Q - N 》 0
通过梳理我们得到的两个条件，
N 《 2Q 《=2（N-f）
f 《 N/2
N 》 2f
因此，对于非拜占庭式故障
拜占庭式故障
假设网络中有n个节点，其中f个故障节点可能会遇到拜占庭式故障，那么要保证活跃性和安全性，需要多少仲裁大小Q？
遭受拜占庭式失败的节点可以投票给无效的区块或决策，导致决策中的分裂，并因此分叉。
活跃度
为了避免网络停止，必须存在至少一个非故障节点或仲裁。由于拜占庭节点可能无法回复。
因此，为了活跃度：
Q 《= N - f
安全性
为了避免网络分裂成多个决策，大多数决策者应该在线。然而，与非拜占庭式失败不同，拜占庭式失败中的节点也可以投票，因此我们需要在投票过程中考虑故障节点。
Q 》 N/2
2Q - N 》 0
此公式提供了网络中可能存在的最大失败节点数。
因此，为了安全起见，也可以将其写为：
2Q - N 》 f
其中f是可容忍故障节点的最大数量。
把这两个条件结合起来
N + f 《 2Q 《 2（N - f）
N + f 《 2N - 2f
3f 《 N
N 》 3f
if N = 3f + 1
then 2Q 》 4f + 1
Q 》 2f + 1/2
因此，对于拜占庭式的失败
Qmin = 3f + 1
在node.js中实现PBFT
在本节中，我们将实现一个以PBFT为共识算法的区块链。值得注意的是，该区块链不会使用加密货币，但如果我们使用账户模型，则可以使用。此外，由于PBFT易受Sybil攻击，因此只能在许可的环境下运行，因此需要了解网络成员。
先决条件
· Node.js
· Postman
· VS code
架构与设计
为了实施PBFT，我们将开发以下组件：
1. 钱包类 - 用于公钥和签名数据。
2. 事务类 - 创建事务并验证它们。
3. 区块类 - 创建区块，验证块并验证区块的提议者。
4. 区块链类 - 创建链，添加区块，计算提议者，验证区块，更新区块。
5. P2p Server类 - 在对等体之间广播和接收数据。
6. 验证者 - 生成并验证验证者
7. 事务池，区块池，提交池，准备池和消息池 - 分别存储事务，区块，提交，准备和新轮消息。
8. App - 用于与区块链交互的Express API
9. 配置 - 存储全局变量
10. Chain Utilities - 用于存储散列和验证签名等常用功能。
创建一个根目录pbft并将其cd入其中。此项目中的所有文件都存在于根目录中。
mkdir pbft && cd pbft
ChainUtil类
我们将从创建一个chain-util.js文件开始，该文件将在此项目中多次使用。此文件将用于创建用于签名数据的密钥对，为事务生成ID，散列数据和验证签名。
我们需要三个模块来执行这些功能。因此我们需要安装它们。
npm i --save elliptic uuid crypto-js
创建一个ChainUtil类并将其导出。
// EDDSA allows us to create keypairs
// It is collection of cryptographic algorithms that are used to create keypairs
const EDDSA = require（“elliptic”）.eddsa;
// ed25519 allows us to create key pair from secret
const eddsa = new EDDSA（“ed25519”）;
// uuid/v1 creates timestamp dependent ids
const uuidV1 = require（“uuid/v1”）;
// used for hashing data to 256 bits string
const SHA256 = require（“crypto-js/sha256”）;
class ChainUtil {
// a static function to return keypair generated using a secret phrase
static genKeyPair（secret） {
return eddsa.keyFromSecret（secret）;
}
// returns ids used in transactions
static id（） {
return uuidV1（）;
}
// hashes any data using SHA256
static hash（data） {
return SHA256（JSON.stringify（data））.toString（）;
}
// verifies the signed hash by decrypting it with public key
// and matching it with the hash
static verifySignature（publicKey， signature， dataHash） {
return eddsa.keyFromPublic（publicKey）.verify（dataHash， signature）;
}
}
module.exports = ChainUtil;
pbft_chain_util.js
事务类
接下来，我们将创建一个事务类。在项目文件夹中创建文件transaction.js。此项目中的事务将包含以下属性：
· id - 用于识别
· from - 发件人的地址
· input - 一个进一步包含要存储的数据和时间戳的对象
· hash - 输入的SHA256
· signature - 发件人签名的哈希
在文件中创建一个类Transaction并将其导出。
// Import the ChainUtil class used for hashing and verification
const ChainUtil = require（“。/chain-util”）;
class Transaction {
// the wallet instance will be passed as a parameter to the constructor
// along with the data to be stored.
constructor（data， wallet） {
this.id = ChainUtil.id（）;
this.from = wallet.publicKey;
this.input = { data： data， timestamp： Date.now（） };
this.hash = ChainUtil.hash（this.input）;
this.signature = wallet.sign（this.hash）;
}
// this method verifies wether the transaction is valid
static verifyTransaction（transaction） {
return ChainUtil.verifySignature（
transaction.from，
transaction.signature，
ChainUtil.hash（transaction.input）
）;
}
}
module.exports = Transaction;
pbft-transaction.js
钱包类
接下来是钱包。钱包持有公钥和密钥对。它还负责签署数据哈希并创建签名事务。
在项目目录中创建文件wallet.js。添加一个类Wallet并将其导出。
// Import the ChainUtil class used for hashing and verification
const ChainUtil = require（“。/chain-util”）;
// Import transaction class used for creating transactions
const Transaction = require（“。/transaction”）;
class Wallet {
// The secret phase is passed an argument when creating a wallet
// The keypair generated for a secret phrase is always the same
constructor（secret） {
this.keyPair = ChainUtil.genKeyPair（secret）;
this.publicKey = this.keyPair.getPublic（“hex”）;
}
// Used for prining the wallet details
toString（） {
return `Wallet -
publicKey： ${this.publicKey.toString（）}`;
}
// Used for signing data hashes
sign（dataHash） {
return this.keyPair.sign（dataHash）.toHex（）;
}
// Creates and returns transactions
createTransaction（data） {
return new Transaction（data， this）;
}
// Return public key
getPublicKey（） {
return this.publicKey;
}
}
module.exports = Wallet;
pbft-wallet.js
验证者类
由于PBFT是一种许可的区块链一致性算法，我们需要存储每个节点系统中所有节点的地址。我们可以通过选择一个密钥，创建一个钱包，获取其公钥并将该密钥存储到一个文件中来手动执行此操作。当我们运行我们的项目时，它会读取此文件以获取密钥。
但是，不是手动执行此操作，我们可以通过创建类并添加可以返回N个节点的公钥列表的函数来自动执行此操作。
我们将创建一个Validator类，它将生成每个节点都知道的公钥列表。在这个项目中，我们使用了每个节点的密码短语
NODE1，NODE2，NODE3 。..。..
这样，我们就可以更容易地创建公钥列表，并使用相同的公钥从命令行创建节点。
// Import the wallet class
const Wallet = require（“。/wallet”）;
class Validators {
// constructor will take an argument which is the number of nodes in the network
constructor（numberOfValidators） {
this.list = this.generateAddresses（numberOfValidators）;
}
// This function generates wallets and their public key
// The secret key has been known for demonstration purposes
// Secret will be passed from command line to generate the same wallet again
// As a result the same public key will be generatedd
generateAddresses（numberOfValidators） {
let list = ［］;
for （let i = 0; i 《 numberOfValidators; i++） {
list.push（new Wallet（“NODE” + i）.getPublicKey（））;
}
return list;
}
// This function verfies if the passed public key is a known validator or not
isValidValidator（validator） {
return this.list.includes（validator）;
}
}
module.exports = Validators;
注意：密钥不应该公开。只有在演示中我们才使用这样的密钥。在实际项目中，发送注册请求以使节点成为验证者。如果整个网络批准此请求，则该节点将成为验证者，并将公钥添加到列表中。
Config.js文件
网络中的验证者数量可以通过命令行传递，但更容易将其存储在文件中并在需要的地方导入。
创建一个文件config.js并创建三个变量NUMBER_OF_NODES，MIN_APPROVALS和TRANSACTION_THRESHOLD
// Maximum number of transactions that can be present in a block and transaction pool
const TRANSACTION_THRESHOLD = 5;
// total number of nodes in the network
const NUMBER_OF_NODES = 3;
// Minmu number of positive votes required for the message/block to be valid
const MIN_APPROVALS = 2 * （NUMBER_OF_NODES / 3） + 1;
module.exports = {
TRANSACTION_THRESHOLD，
NUMBER_OF_NODES，
MIN_APPROVALS
};
PBFT-config.js
工商网监
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