困扰科学界 30 年的难题,华人科学家黄皓用7年时间破解

1992年，布尔函数敏感度猜想（Boolean Sensitivity）被提出，这成为了理论计算机科学近三十年来最重要、最令人困惑的开放性问题之一。而近日，来自Emory大学计算机与数学科学系的华人教授黄皓，用两页纸证明了困扰理论计算机领域数十年的问题。

困扰科学界 30 年的难题

多年来，计算机科学家已经开发出许多方法来测量给定布尔函数的复杂性。研究发现，关于布尔函数复杂性的度量措施都适用于一个统一的框架，但有一个复杂性指标似乎并不适用——“灵敏度”。灵敏度（sensitivity conjecture）是一种衡量布尔函数复杂度的方法，它被定义为导致布尔函数翻转的最大比特数，通过捕获输入字符串中的信息来影响输出位的改变。换句话说，布尔函数的“灵敏度”跟踪翻转单个输入位改变输出位的可能性。

1992年，耶路撒冷希伯来大学的Noam Nisan和现在罗格斯大学的Mario Szegedy 推测表示，“灵敏度”同样是适合统一框架的，但没有人能证明这一点，这也成为了布尔函数研究中一个悬而未决的问题。

灵敏度猜想的证明具有很大的实践意义，主要涉及计算机电路的基础构造块结构，包括：医生可以在达到诊断之前尽可能少地为患者发送测试；机器学习专家可以通过算法在分类之前尽可能少地检查对象的特征；银行家可以向老板展示尽量少的答案以证明他们已做出正确的贷款决策；甚至还涉及量子物理学版本的查询复杂性，弄清楚该测量与其他复杂性测量的关系可以帮助研究人员理解量子算法的局限性......

外媒Quantamagazine就此问题举例说：如果你向银行申请贷款，那么就需要填一系列答案为是或否的问题，银行再根据你的答案进行评分做出决定——这个过程就是一个布尔函数，你的答案就是输入比特，银行的决定就是输出比特。如果你改变某个问题的答案会导致结果翻转，这个比特/答案就被定义为敏感了，如果有7个问题任意一个翻转会导致结果翻转，那么其敏感度就是7。

在这二十多年中，该猜想难倒了许多优秀的计算机科学家。而现在，Emory大学的数学家黄皓用一个巧妙但简单的两页论证，证明了灵敏度猜想。

华人科学家黄皓用7年时间破解

本月初，一篇仅有6页的论文悄悄登上了arXiv，引起了学术界的轰动。一位名叫黄皓（Hao Huang）的华人科学家解开了30年来一直困扰计算机科学家的问题，论文长度仅有6页，其核心证明内容只有2页。

黄皓出生于汕头，十四岁时离开家乡奔赴广州华南师范大学附属中学就读，凭借优异的成绩于2003年被保送至北京大学攻读数学专业。2007年北大本科毕业后，黄皓在美国加州大学洛杉矶分校（UCLA）读博，师从国际著名数学家Benny Sudakov教授，并于2012年获得博士学位。2012-2014年受邀访问普林斯顿高等研究院，现担任美国艾默里大学数学系助理教授。其主要研究领域包括极值组合、图论及理论计算机，已经在JCTB、JCTA、Combinatorica、SIAM J. Discrete Math等国际著名期刊上发表及接受发表论文20余篇。

2012年末，在受访美国普林斯顿高等研究院期间，黄皓在与数学家Michael Saks共进午餐时听说了敏感性猜想，他立刻被这个猜想的简洁和优雅所吸引。“每次我发表新论文后，我都会回到这个问题，”他说。“当然，我会在一段时间后放弃，并解决一些更现实的问题。”

在2013年，黄皓开始认为理解这个问题的最佳途径可能是通过标准网络来表示网络，该矩阵跟踪哪些点连接，然后检查一组称为矩阵特征值的数字。五年来，他一直在重新审视这个想法，但一直没有成功。2018年，黄皓发现了使用一个有200年历史的称为Cauchy交错定理的数学，它将矩阵的特征值与子矩阵的特征值联系起来，使其成为研究立方体与立方体之间关系的完美工具。

上个月，他突然意识到他可以通过改变他的矩阵中某些数字的符号来推动这种方法的完成。通过这种方式，他能够证明在n维立方体中超过一半点的任何集合中，将存在某些与其他点相关的点，灵敏度猜想也从这个结果中被证明。

图源：Quantamagazine

这个存在了30年的难题，最终证明是如此简洁甚至可以用一条推文概况。

图源Twitter：CMU计算机科学系教授Ryan O'Donnell

而为了解决这个问题，黄皓花费了7年时间来思考。

Quantamagazine最后写到，“黄皓的研究结果超过了证明灵敏度猜想所必需的结果，这种发现应该会产生关于复杂性度量的新见解。”哥伦比亚大学计算机科学教授Rocco Servedio也表示，“它充实了我们的工具库，让我们可以试图回答布尔函数分析中的其他问题”，“我认为在这一证明推出以后，很多人终于能睡得着觉了。”