FIR滤波器的第二种设计方法——频率取样法

本文讲解FIR滤波器的第二种设计方法——频率取样法。

我们在上一篇的末尾也曾总结过，窗函数法是从时域出发的一种设计方法，不直观。为什么呢？因为我们设计滤波器更关注的是它的频率特性（至少在现阶段是如此），可不可以直接从它的频率性能出发来设计滤波器呢？当然可以，这就是本篇我们要说的“频率取样法”。

三频率取样法

1. 设计原理

顾名思义，频率取样法，就是在频域上取样，取谁的样？当然是取滤波器的频率响应，也就是说：

得到的这N个离散样本值之后，下面怎么办？

我们知道，本章我们设计滤波器的终极目标（现阶段哈，理论上的终极目标）就是得到描述滤波器的系统函数H(z)分子和分母多项式的系数。而对于FIR滤波器，分母为1，分子系数就是其单位冲激响应h(n)。所以，下一步，就是求出h(n)。

得出了H(k)，怎么得到h(n)呢？该我们学过的法宝DFT隆重登场了，只不过这次是逆变换：IDFT。

好啦，现阶段终极目标实现了。看上去似乎很简单，但是......拿这个h(n)当我们的终极目标，靠谱吗？

所以我们需要分析一下，这个h(n)代表的滤波器的滤波特性到底如何？能不能达到设计指标要求？

通过前面学习窗函数法，我们知道，窗函数法得到的h(n)是对理想滤波器的hd(n)进行截断得到的，所以滤波性能比理想滤波器差。那么，我们通过前面的过程得到的h(n)，它与理想滤波器的hd(n)，又是什么关系呢？或者说，h(n)代表的实际FIR系统的频率响应H(e^jw)，与hd(n)代表的理想滤波器频率响应Hd(e^jw)，是什么关系呢？下面用两种方法进行分析：

2. 逼近误差

第一种分析方法：分析h(n)与hd(n)的关系

我们的“时频域终极对应关系”——一个域离散抽样，另外一个域周期延拓，又要登场了。看下图：

图1

频域上，将Hd(e^jw)以2Π/N为间隔离散抽样，对应到时域上，就是将hd(n)以N为周期延拓。而DFT是时域频域都取主值区间，所以用公式来描述这句话，就是：

看到这里，我们就要想到了，hd(n)是无限长的，把它周期延拓肯定会混叠啊，再取主值区间得到的h(n)，其数值肯定与hd(n)不同了。也正是因为这个”混叠“，才导致我们得到的FIR的频率响应H(e^jw)，肯定不如理想滤波器的Hd(e^jw)。

第二种分析方法：分析H(e^jw)与Hd(e^jw)的关系

继续前面一句话，H(e^jw)不如Hd(e^jw)，到底哪里不如呢？H(e^jw)表示不服气“说我不好，给出证据来！”

我们知道，Hd(e^jw)是理想滤波器的频响，它的模样我们很清楚，表达式我们也能写出来，以低通为例，就是下面的样子：

图2

我们自家的孩子H(e^jw)，是什么样子呢？表达式能不能求出来呢？

我们回到图1：H(e^jw)是h(n)的傅里叶变换（DTFT），而h(n)的DFT是H(k)，根据前面所学，DFT就是DTFT一个周期（[0~2Π]）的N个等间隔抽样值。根据频域抽样中所学的“频域的插值恢复”，有下面的公式来表示H(e^jw)：

图3

抱歉，我知道这个公式很烦人，可是不把它摆出来，不能让自家的孩子H(e^jw)心服口服啊。

说了这么多，理顺一下：频率取样法的思路是：把完美无缺的别人家的孩子Hd(e^jw)，离散抽样出N个点，得到H(k)，然后把H(k)求N点IDFT，得到h(n)，这就是我们自家的孩子，它的频率响应H(e^jw)是什么呢？就是我们图3中的内插公式来表示。

下面用图形直观说明自家的孩子与别人家孩子的差距，以低通滤波器为例。

图4

图4中，蓝色虚线是“别人家的孩子”——理想低通滤波器的幅频特性，截止频率为π/3，按照频率取样法（点数N=15，如图中蓝色空心圆点所示，因为图中只给出了0~π范围内的图，所以只显示7个点）。

需要强调说明的是，H(k)是理想低通的频谱取样值（包括幅度和相位），而我们画图时，为了简便，只给出幅度函数。

按照这些离散的频率样值点内插得到的实际滤波器（也就是自家的孩子）的幅频特性是什么样的呢？是图4中的黑色实线。

哇，不比不知道，一比吓一跳。自家孩子的差距一目了然。第一个缺点：通带和阻带之间出现了过渡带；第二个缺点：通带和阻带内出现了起伏。

这两个缺点能不能克服呢？

首先看第一个缺点，能不能尽量减小过渡带呢？显然是可以的，过渡带宽度≈两个相邻采样点的距离，即2π/N。那么，增大N，过渡带就可以变窄。

我们把N从15增大到75点（如图中红色实心小圆点，0-π之间是38个），再利用这75个频率取样值内插得到的FIR滤波器的频率响应，如图5中的红色实线，果然，过渡带变窄了。

图5

但是，我们比较图5中的红色实线与黑色实线，就会发现，虽然远离截止频率的通带和阻带内部，红色实线的起伏小于黑色实线，但是第一旁瓣的起伏并不能显著改变，也就是说，增大N不能减小阻带最小衰减。

老母亲在刚刚要长舒一口气时，又绝望地发现，自家孩子的第二个缺点是基因造成的，无法改变。

不要绝望，虽然无法彻底根除，但能不能稍加改善呢？这就是我们的第三个问题：改进措施。

3.改进措施

要想改进，先找原因。产生起伏的原因，是因为样本值H(k)突然从1变为0（间断点），如果我们让它变得慢一点，就有望减小起伏。也就是说：

在频率响应间断点附近区间插入一个或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡带。图5所示为插入一个过渡采样点的示例。

图5

插入m个过渡点，过渡带宽度近似为：(m+1)×2Π/N

过渡点个数m与滤波器阻带最小衰减之间的关系有一些经验数据，如下表所示。

而且，过渡采样点的数值需要进行优化设计，不同的取值，会影响阻带衰减。

看来，改造自家孩子，向着别人家孩子逼近，是一项光荣而艰巨的、近乎不可完成的任务啊。

老母亲们该怎么办呢？第一，选定方法，用什么方法来设计你自家的孩子，窗函数法、还是频率取样法，抑或是我们这里没讲到的最优化的方法......；第二，既然选定这种方法，说明它肯定有吸引你的优点，但是同时，你只能坦然接受这种方法命中注定的缺点。如果你发现这个缺点你无法接受，那对不起，你只好推翻重来，重新用其他方法来设计你的滤波器。

当然了，滤波器可以重新设计，但孩子只能养一次，就好比发射卫星，一旦发射失败了，只好重新造一颗了。