一文解析深度学习的优算方法

神经网络的学习的目的是找到使损失函数的值尽可能小的参数。这是寻找最优参数的问题，解决这个问题的过程称为最优化（optimization）。遗憾的是，神经网络的最优化问题非常难。这是因为参数空间非常复杂，无法轻易找到最优解（无法使用那种通过解数学式一下子就求得最小值的方法）。而且，在 深度神经网络中，参数的数量非常庞大，导致最优化问题更加复杂。

为了找到最优参数，我们将参数的梯度（导数）作为了线索。 使用参数的梯度，沿梯度方向更新参数，并重复这个步骤多次，从而逐渐靠近最优参数，这个过程称为随机梯度下降法（stochastic gradient descent），简称SGD。SGD是一个简单的方法，不过比起胡乱地搜索参数空间，也算是“聪明”的方法。

打个比方： 有一个性情古怪的探险家。他在广袤的干旱地带旅行，坚持寻找幽 深的山谷。他的目标是要到达最深的谷底（他称之为“至深之地”）。这 也是他旅行的目的。并且，他给自己制定了两个严格的“规定”：一个 是不看地图；另一个是把眼睛蒙上。因此，他并不知道最深的谷底在这个广袤的大地的何处，而且什么也看不见。在这么严苛的条件下，这位 探险家如何前往“至深之地”呢？他要如何迈步，才能迅速找到“至深 之地”呢？

寻找最优参数时，我们所处的状况和这位探险家一样，是一个漆黑的世界。我们必须在没有地图、不能睁眼的情况下，在广袤、复杂的地形中寻找 “至深之地”。大家可以想象这是一个多么难的问题。

在这么困难的状况下，地面的坡度显得尤为重要。探险家虽然看不到周 围的情况，但是能够知道当前所在位置的坡度（通过脚底感受地面的倾斜状况）。 于是，朝着当前所在位置的坡度最大的方向前进，就是SGD的策略。勇敢的探险家心里可能想着只要重复这一策略，总有一天可以到达“至深之地”。

SGD

用数学式将SGD可以写成如下形式：

为需要更新的权重参数，∂L∂W\frac{\partial L}{\partial W}∂W∂L为损失函数LLL关于WWW的梯度。η\etaη表示学习率，一般会取0.01或0.001这些事先决定好的值。式中的←\leftarrow←表示用右边的值更新左边的值。

缺点：

（1）SGD 因为更新比较频繁，会造成 cost function 有严重的震荡。

SGD呈 “之”字形移动。这是一个相当低效的路径。也就是说， SGD的缺点是， 如果函数的形状非均向（anisotropic），比如呈延伸状，搜索的路径就会非常低效。因此，我们需要比单纯朝梯度方向前进的SGD更聪 明的方法。 SGD低效的根本原因是， 梯度的方向并没有指向最小值的方向。

（2）容易收敛到局部最优，并且容易被困在鞍点。

Momentum

Momentum算法借用了物理中的动量概念，它模拟的是物体运动时的惯性，即更新的时候在一定程度上保留之前更新的方向，同时利用当前batch的梯度微调最终的更新方向。这样一来，可以在一定程度上增加稳定性，从而学习地更快，并且还有一定摆脱局部最优的能力：

和前面的SGD一样， WWW表示要更新的权重参数， 表示损失函数关于WWW的梯度，ηηη表示学习率。 这里新出现了一个变量vvv，对应物理上的速度。 式（1）表示了物体在梯度方向上受力，在这个力的作用下，物体的速度增加这一物理法则。Momentum方法给人的感觉就像是小球在地面上滚动。

式（1）中有αvαvαv这一项。在物体不受任何力时，该项承担使物体逐渐减速的任务（α设定为0.9之类的值），对应物理上的地面摩擦或空气阻力。

和SGD相比， “之”字形的“程度”减轻了。这是因为虽然x轴方向上受到的力非常小，但是一直在同一方向上受力，所以朝同一个方向会有一定的加速。反过来，虽然y轴方向上受到的力很大，但是因为交互地受到正方向和反方向的力，它们会互相抵消，所以y轴方向上的速度不稳定。因此，和SGD时的情形相比， 可以更快地朝x轴方向靠近，减弱“之”字形的变动程度。

AdaGrad

在神经网络的学习中，学习率（数学式中记为ηηη）的值很重要。学习率过小， 会导致学习花费过多时间；反过来，学习率过大，则会导致学习发散而不能 正确进行。

在关于学习率的有效技巧中，有一种被称为学习率衰减（learning rate decay） 的方法，即随着学习的进行，使学习率逐渐减小。实际上，一开始“多” 学，然后逐渐“少”学的方法，在神经网络的学习中经常被使用。

逐渐减小学习率的想法，相当于将“全体”参数的学习率值一起降低。 而AdaGrad进一步发展了这个想法，针对“一个一个”的参数，赋予其“定 制”的值。

AdaGrad会为参数的每个元素适当地调整学习率， 与此同时进行学习 （AdaGrad的Ada来自英文单词Adaptive，即“适当的”的意思）。下面，让我们用数学式表示AdaGrad的更新方法。

其中，hhh为梯度累积变量，它保存了以前的所有梯度值的平方和，hhh的初始值为0。⨀\bigodot⨀表示对应矩阵元素的乘法，η\etaη表示学习率，δ\deltaδ为很小的一个数值，是为了防止分母为0。然后，在更新参数时，通过乘以 1h√\frac{1}{\sqrt h}h1，就可以调整学习的尺度。这意味着， 参数的元素中变动较大（被大幅更新）的元素的学习率将变小。也就是说， 可以按参数的元素进行学习率衰减，使变动大的参数的学习率逐渐减小。

由图可知，函数的取值高效地向着最小值移动。由于y轴方 向上的梯度较大，因此刚开始变动较大，但是后面会根据这个较大的变动按 比例进行调整，减小更新的步伐。因此，y轴方向上的更新程度被减弱，“之” 字形的变动程度有所衰减。

RMSProp

AdaGrad会记录过去所有梯度的平方和。因此，学习越深入，更新 的幅度就越小。实际上，如果无止境地学习，更新量就会变为 0， 完全不再更新。为了改善这个问题，可以使用 RMSProp 方法。RMSProp方法并不是将过去所有的梯度一视同仁地相加，而是逐渐 地遗忘过去的梯度，在做加法运算时将新梯度的信息更多地反映出来。 这种操作从专业上讲，称为“指数移动平均”，呈指数函数式地减小过去的梯度的尺度。

其中ppp一般可取0.9，其它参数和AdaGrad一致。

Adam

Momentum参照小球在碗中滚动的物理规则进行移动，AdaGrad为参数的每个元素适当地调整更新步伐。如果将这两个方法融合在一起会怎么样呢？这就是Adam方法的基本思路。直观地讲，Adam就是融合了Momentum和AdaGrad的方法。通过组合前面两个方法的优点，有望实现参数空间的高效搜索。此外，进行超参数的“偏置校正”也是Adam的特征。Adam结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点。

可以看出，直接对梯度的矩估计对内存没有额外的要求，而且可以根据梯度进行动态调整，而−mˆtnˆt√+δ-\frac{\hat m_t}{\sqrt {\hat n_t} + \delta }−n^t+δm^t对学习率η\etaη形成了一个动态约束，而且有明确的范围。

如图，基于 Adam 的更新过程就像小球在碗中滚动一样。虽然 Momentun 也有类似的移动，但是相比之下， Adam的小球左右摇晃的程度有所减轻。这得益于学习的更新程度被适当地调整了。