深入探求反码和补码

本篇文章讲解了计算机的原码， 反码和补码。 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码， 以及更进一步的论证了为何可以用反码， 补码的加法计算原码的减法。 论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正！ 希望本文对大家学习计算机基础有所帮助！

一、机器数和真值

在学习原码， 反码和补码之前， 需要先了解机器数和真值的概念。

1、机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式， 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号， 正数为0， 负数为1.

比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

2、真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

二、原码， 反码， 补码的基础概念和计算方法。

在探求为何机器要使用补码之前， 让我们先了解原码， 反码和补码的概念。对于一个数， 计算机要使用一定的编码方式进行存储。 原码， 反码， 补码是机器存储一个具体数字的编码方式。

1、原码

原码就是符号位加上真值的绝对值， 即用第一位表示符号， 其余位表示值。 比如如果是8位二进制：

［+1］ 原 = 0000 0001

［-1］ 原 = 1000 0001

第一位是符号位。 因为第一位是符号位， 所以8位二进制数的取值范围就是：

［1111 1111 ， 0111 1111］

即

［-127 ， 127］

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。

2、反码

反码的表示方法是：

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上， 符号位不变，其余各个位取反。

［+1］ = ［00000001］ 原 = ［00000001］ 反

［-1］ = ［10000001］ 原 = ［11111110］ 反

可见如果一个反码表示的是负数， 人脑无法直观的看出来它的数值。 通常要将其转换成原码再计算。

3、补码

补码的表示方法是：

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上， 符号位不变， 其余各位取反， 最后+1. （即在反码的基础上+1）

［+1］ = ［00000001］ 原 = ［00000001］ 反 = ［00000001］ 补

［-1］ = ［10000001］ 原 = ［11111110］ 反 = ［11111111］ 补

对于负数， 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的。 通常也需要转换成原码在计算其数值。

三、为何要使用原码， 反码和补码

在开始深入学习前， 我的学习建议是先“死记硬背”上面的原码， 反码和补码的表示方式以及计算方法。

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数。 对于正数因为三种编码方式的结果都相同：

［+1］ = ［00000001］ 原 = ［00000001］ 反 = ［00000001］ 补

所以不需要过多解释。 但是对于负数：

［-1］ = ［10000001］ 原 = ［11111110］ 反 = ［11111111］ 补

可见原码， 反码和补码是完全不同的。 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式， 为何还会有反码和补码呢？

首先， 因为人脑可以知道第一位是符号位， 在计算的时候我们会根据符号位， 选择对真值区域的加减。 （真值的概念在本文最开头）。 但是对于计算机， 加减乘数已经是最基础的运算， 要设计的尽量简单。 计算机辨别“符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂！ 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。 我们知道， 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数， 即： 1-1 = 1 + （-1） = 0 ， 所以机器可以只有加法而没有减法， 这样计算机运算的设计就更简单了。

于是人们开始探索 将符号位参与运算， 并且只保留加法的方法。 首先来看原码：

计算十进制的表达式： 1-1=0

1 - 1 = 1 + （-1） = ［00000001］ 原 + ［10000001］ 原 = ［10000010］ 原 = -2

如果用原码表示， 让符号位也参与计算， 显然对于减法来说， 结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

为了解决原码做减法的问题， 出现了反码：

计算十进制的表达式： 1-1=0

1 - 1 = 1 + （-1） = ［0000 0001］ 原 + ［1000 0001］ 原= ［0000 0001］ 反 + ［1111 1110］ 反 = ［1111 1111］ 反 = ［1000 0000］ 原 = -0

发现用反码计算减法， 结果的真值部分是正确的。 而唯一的问题其实就出现在“0”这个特殊的数值上。 虽然人们理解上+0和-0是一样的， 但是0带符号是没有任何意义的。 而且会有［0000 0000］原和［1000 0000］原两个编码表示0.

于是补码的出现， 解决了0的符号以及两个编码的问题：

1-1 = 1 + （-1） = ［0000 0001］ 原 + ［1000 0001］ 原 = ［0000 0001］ 补 + ［1111 1111］ 补 = ［0000 0000］ 补=［0000 0000］ 原

这样0用［0000 0000］表示， 而以前出现问题的-0则不存在了。而且可以用［1000 0000］表示-128：

（-1） + （-127） = ［1000 0001］ 原 + ［1111 1111］ 原 = ［1111 1111］ 补 + ［1000 0001］ 补 = ［1000 0000］ 补

-1-127的结果应该是-128， 在用补码运算的结果中， ［1000 0000］补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128， 所以-128并没有原码和反码表示。（对-128的补码表示［1000 0000］补算出来的原码是［0000 0000］原， 这是不正确的）

使用补码， 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题， 而且还能够多表示一个最低数。 这就是为什么8位二进制， 使用原码或反码表示的范围为［-127， +127］， 而使用补码表示的范围为［-128， 127］。

因为机器使用补码， 所以对于编程中常用到的32位int类型， 可以表示范围是： ［-231， 231-1］ 因为第一位表示的是符号位。而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

四、原码， 反码， 补码 再深入

计算机巧妙地把符号位参与运算， 并且将减法变成了加法， 背后蕴含了怎样的数学原理呢？

将钟表想象成是一个1位的12进制数。 如果当前时间是6点， 我希望将时间设置成4点， 需要怎么做呢？我们可以：

1. 往回拨2个小时： 6 - 2 = 4

2. 往前拨10个小时： （6 + 10） mod 12 = 4

3. 往前拨10+12=22个小时： （6+22） mod 12 =4

2，3方法中的mod是指取模操作， 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.

所以钟表往回拨（减法）的结果可以用往前拨（加法）替代！

现在的焦点就落在了如何用一个正数， 来替代一个负数。 上面的例子我们能感觉出来一些端倪， 发现一些规律。 但是数学是严谨的。 不能靠感觉。

首先介绍一个数学中相关的概念： 同余

同余的概念

两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余

记作 a ≡ b （mod m）

读作 a 与 b 关于模 m 同余。

举例说明：

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

所以4， 16， 28关于模 12 同余。

负数取模

正数进行mod运算是很简单的。 但是负数呢？

下面是关于mod运算的数学定义：

上面是截图， “取下界”符号找不到如何输入（word中粘贴过来后乱码）。 下面是使用“L”和“J”替换上图的“取下界”符号：

x mod y = x - y L x / y J

上面公式的意思是：

x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界。

以 -3 mod 2 举例：

-3 mod 2

= -3 - 2xL -3/2 J

= -3 - 2xL-1.5J

= -3 - 2x（-2）

= -3 + 4 = 1

所以：

（-2） mod 12 = 12-2=10

（-4） mod 12 = 12-4 = 8

（-5） mod 12 = 12 - 5 = 7

开始证明

再回到时钟的问题上：

回拨2小时 = 前拨10小时

回拨4小时 = 前拨8小时

回拨5小时= 前拨7小时

注意， 这里发现的规律！

结合上面学到的同余的概念。实际上：

（-2） mod 12 = 10

10 mod 12 = 10

-2与10是同余的。

（-4） mod 12 = 8

8 mod 12 = 8

-4与8是同余的。

距离成功越来越近了。 要实现用正数替代负数， 只需要运用同余数的两个定理：

反身性：

a ≡ a （mod m）

这个定理是很显而易见的。

线性运算定理：

如果a ≡ b （mod m），c ≡ d （mod m） 那么：

（1）a ± c ≡ b ± d （mod m）

（2）a * c ≡ b * d （mod m）

如果想看这个定理的证明， 请看：http://baike.baidu.com/view/79282.htm

所以：

7 ≡ 7 （mod 12）

（-2） ≡ 10 （mod 12）

7 -2 ≡ 7 + 10 （mod 12）

现在我们为一个负数， 找到了它的正数同余数。 但是并不是7-2 = 7+10， 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 （mod 12） ， 即计算结果的余数相等。

接下来回到二进制的问题上， 看一下： 2-1=1的问题。

2-1=2+（-1） = ［0000 0010］ 原 + ［1000 0001］ 原= ［0000 0010］ 反 + ［1111 1110］ 反

先到这一步， -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将［1111 1110］认为是原码， 则［1111 1110］原 = -126， 这里将符号位除去， 即认为是126.

发现有如下规律：

（-1） mod 127 = 126

126 mod 127 = 126

即：

（-1） ≡ 126 （mod 127）

2-1 ≡ 2+126 （mod 127）

2-1 与 2+126的余数结果是相同的！ 而这个余数， 正式我们的期望的计算结果： 2-1=1

所以说一个数的反码， 实际上是这个数对于一个膜的同余数。 而这个膜并不是我们的二进制， 而是所能表示的最大值！ 这就和钟表一样， 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值！

而2+126很显然相当于钟表转过了一轮， 而因为符号位是参与计算的， 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果。

既然反码可以将减法变成加法， 那么现在计算机使用的补码呢？ 为什么在反码的基础上加1， 还能得到正确的结果？

2-1=2+（-1） = ［0000 0010］ 原 + ［1000 0001］ 原 = ［0000 0010］ 补 + ［1111 1111］ 补

如果把［1111 1111］当成原码， 去除符号位， 则：

［0111 1111］ 原 = 127

其实， 在反码的基础上+1， 只是相当于增加了膜的值：

（-1） mod 128 = 127

127 mod 128 = 127

2-1 ≡ 2+127 （mod 128）

此时， 表盘相当于每128个刻度转一轮。 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是［-128， 128］。

但是由于0的特殊情况， 没有办法表示128， 所以补码的取值范围是［-128， 127］