浅谈RC电路的零状态响应

零状态响应就是电路在零初始状态下(动态元件初始储能为零)由外施激励引起的响应。

RC电路的零状态响应

在t=0时刻，开关S闭合，电路接入直流电压源US。根据KVL，有

uR+uC=US

(KVL∑u=0

指定回路的绕行方向是顺时针的，R、C的电压参考方向与绕行方向一致，电压前面取“+”号，US的电压参考方向与绕行方向不一致，前面取“-”号。

根据KVL，有

uR+uC-US=0

得

US=uR+uC)

将uR=Ri，i=CduC/dt代入，得电路的微分方程

RC(duC/dt)+uC=US

此方程为一阶线性非齐次方程。方程的解由非齐次方程的特解uC'
和对应的齐次方程的通解uC''两个分量组成，即

uC=uC'+uC''

不难求得特解为

uC'=US

(对于一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)

非齐次线性方程的通解

y=e-∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)

取C=0便得到特解

y=e-∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dxdx

对于RC(duC/dt)+uC=US，uC=e-(t/RC)*** 但是对于求解这个实际问题不需要这样循规蹈矩

最后电路稳定后，C相当于开路，那C两端电压就等于电压源两端电压，所以特解是现成的，即uC'=US)

而齐次方程RCduC/dt+uC=0的通解为

uC''=Ae-t/τ

其中τ=RC。因此

uC=US+Ae-t/τ

代入初始值，可求得

A=-US

而

uC=US-USe-t/τ=US(1-e-t/τ)

i=C(duC/dt)=(US/R)e-t/τ

WR=(1/2)CUS2(充电效率只有50%)
编辑：hfy