学好信号与系统有什么关键？

一、信号与系统综述

《信号与系统》是电子、信息类专业的专业基础课，为后续课如通信原理、数字信号处理等的学习打下基础，可以说，信号与系统课程学习的好坏，对整个电子信息类专业课程的学习至关重要，因为它起着承上启下的作用。可惜我们的同学这门课都学得不好。从功利和追求真理两个角度来说，都应该学好这门课：从功利的角度来说，这门课学分多，难学，能拉开与其他学生的距离，获得好的绩点对毕业评优很有好处，是某些专业考研的必考科目；从掌握真理的角度来说，学好这门课是理解通信过程的一个关键环节，否则不仅后续课如通信原理、数字信号处理不好理解，而且对通信的基本问题，如信号无失真失真传输的条件、带限信号采样定理、信号调制等都不能理解，即使大学本科毕业了，其实对通信还是一个“门外汉”。《信号与系统》这门课的主要内容，可以从它的课程名字，即“信号”与“系统”及为了研究信号与系统的求解而引入的“变换”这三个方面来说明。

1、信号信号是信息的载体，任何信息都通过信号作为载体来传输。有的信号如声音信号、图像信号等模拟信号是我们本身需要的，有的信号如各种调制信号是为了信号的传输而产生的，如模拟调制信号、数字调制信号，那么我们需要掌握信号的各种性质，包括时域的性质和频域的性质。信号在时域有哪些性质呢？我们在时域能对信号进行哪些处理呢？

①信号在时域有连续性和离散型之分，连续性和离散型指时间取值，离散信号是数字时代的基本特征，它是对连续信号进行等间隔采样取得的。对连续信号，有两个特殊的信号很重要：阶跃信号和冲激信号，它们往往是描述其他连续信号的基础；对离散信号，也有两个重要的特殊信号：单位采样信号和单位阶跃信号。吴大正教材一般称“函数”，这里我们一般称“信号”，同样地，这两个信号也是描述其他离散信号的基础。

②信号在时域可以进行各种运算，如相加、相减、反转、平移、幅度伸缩、时间伸缩（即尺度变换）。注意离散信号一般不做尺度变换，因为可能丢失原信号的部分信息。③信号在时域有周期性和非周期性之分，它们在频域的性质差别是很大的：前者在频域是离散的，后者在频域是连续的。

④根据信号的能量有限性和功率有限性，将信号分为能量信号和功率信号，能量信号对应的频域描述是频谱密度和能量谱密度，功率信号对应的频域描述是频谱和功率谱密度。⑤信号在时域的自相关函数是一个很重要的概念，它不仅反映了信号的自相关程度，而且根据维纳-欣钦公式，它是联系时域和频域的一个纽带。以上孤立地研究信号，没有考虑系统的作用，任何信号都是在一定的系统中起作用的，因此必须要考虑系统的性质及信号和系统的相互作用。

2、系统简单地说，系统就是完成一定功能的整体，如消化系统、生态系统等，在通信中就是通信系统，本课程主要是电路系统，因为信号是电信号，系统是对电信号进行处理的。为什么要研究系统呢？一是因为信号必须在一定的系统中才起作用，才能传输和处理，比如信号要无失真地传输，对系统必须有一定的要求；二是系统本身具有一定的功能和性质，必须专门研究，比如如何实现各种不同功能的系统。

①本课程的系统最重要的特征是线性，此外还有时不变性，由于有这两个假设，研究起来就比较方便，而且现实的系统一般都满足这两个条件。简单说，因果性就是指结果不能发生在原因之前。因果性很重要，因为它关系到系统能否实现，模拟的非因果系统是不能实现的，但是数字非因果系统可以利用延迟电路来实现，这体现了数字信号处理的优越性。稳定性也很重要，因为它关系到系统能否正常工作。系统的四性，即线性、时不变性、因果性、稳定性是对系统总的概括，必须首先深刻理解。

②当系统的激励和响应都是连续信号时，称为连续系统，连续系统的激励与响应的关系用微分方程来描述；当激励和响应都是离散信号时，称为离散系统，离散系统的激励与响应的关系用差分方程来描述。

③当系统是已知的，给出任意激励，求出系统的响应是一个基本任务，时域的求解有两个方法：一个是求解微分方程或差分方程，这是一种纯粹的数学方法，其中求连续系统的冲激响应通常是很麻烦的，后面我们会看到在变换域中求冲激响应是很简单的；另一个是信号分解的方法，求出基本信号（冲激信号、单位采样信号）的响应，然后利用信号的分解和系统的线性和时不变性，由此得出系统的总响应，并由此导出卷积、卷积和的概念。求冲激响应的匹配法是一个很变态的理论，太繁琐了，不要求掌握，初步了解一下就可以了，因为后面有求解这类问题的非常高效的方法，即拉氏变换法。一个系统的特性完全由冲激响应或者单位采样响应决定，为什么呢？这是因为冲激信号和单位采样信号的频谱是一条“水平线”，它包含了所有的频率分量，而且所有频率分量的能量都是一样的，这样的信号经过一个系统之后，系统的响应就完全决定了系统的性质。事实上，卷积（卷积和）的方法有时甚至比求解微分（差分方程）更麻烦，但是卷积方法包含了明显的物理意义，由信号分解的方法导出很多优美的理论，如傅里叶变换、拉氏变换和z变换等，它们本质上都是信号分解的方法。例如，傅里叶变换将信号分解为正弦信号或复指数信号之和，基本的复指数信号经过系统之后，还是一个同频率的复指数信号，但是其幅度和相位发生了改变，幅度和相位如何改变，完全由系统本身的性质决定，由此发展出线性时不变系统的频域分析方法。

3、变换信号与系统的核心内容是三个变换，及由变换引入的很多概念和方法。

①三个变换，即傅里叶变换、拉氏变换和z变换，其中傅里叶变换的物理意义最丰富，由它引入很多有实在意义的概念，如幅频特性、相频特性、频移特性（调制）、能量谱、功率谱、带宽等。此外，信号无失真传输的条件、吉布斯现象、取样定理等，都涉及傅里叶变换。由离散傅里叶级数和离散时间傅里叶变换结合，引入离散傅里叶变换的概念，它是现代数字信号处理最重要的分析工具。另外两个变换，即拉氏变换和z变换，它们作为一种分析工具的意味更强一些，但是也包含很多物理意义，并且和傅里叶变换有着一定的联系。

②拉氏变换是为了克服傅里叶变换的两个缺点而引入的，因而威力更大一些，解决的问题更多一些，并且傅里叶变换就是一种特殊情况下的拉氏变换。拉氏变换也是一种信号分解的处理方法，不过它将信号分解为另一种形式的复指数信号，在求系统响应和卷积方面，拉氏变换有着很高的效率：它将微分方程变成代数方程，将卷积变成乘积。由拉氏变换可以导出系统函数，当然就更有物理意义了：由系统函数可以判断系统的性质如系统的冲激响应、滤波特性、稳定性等，它也是电路设计的基础。③z变换是为了分析和求解离散系统而引入的，它将差分方程变成代数方程，将卷积和变成乘积。z变换也是一种信号分解方法，它的基本信号也是一个复指数信号。相对连续系统的信号来说，离散信号的一些概念更难理解一些，如数字角频率、幅频特性、相频特性等，这些概念需要反复体会，将模拟系统和数字系统进行对照分析、理解。

④三个变换的性质很多，都有差不多十条，学好其中一个变换的性质，然后将另两个进行对比，可以收到事半功倍的效果。

二、如何学好信号与系统这门课

信号与系统教材公式之多，比高等数学有过之而无不及，很多学生因此望而生畏，那么如何学好这门课呢？下面提几条建议。

1、理解物理意义信号与系统不是高等数学，物理意义很重要，学习任何一个概念和理论，都要注重理解其物理意义。如果追求数学技巧而忽视公式背后的物理意义，就是舍本逐末、因小失大了。数学只是工具，有时是很强大的工具（如各种变换），但是一定要注意理解数学背后的物理意义，以及为什么要引入这些工具，由这些工具又引出了哪些重要的概念和方法。数学是为解决问题的工具，背后的物理意义是我们需要关注的焦点。

2、对比是一个很好的方法将微分方程的经典解和差分方程的经典解对比，将卷积和卷积和对比，将冲激响应和单位序列响应对比，将傅里叶变换和拉氏变换对比，将拉氏变换和z变换对比，这些对比都有助于提高学习效率，加深理解，收到事半功倍的效果。将时域分析方法和变换域方法进行对比，可以更好地理解变换域方法的优势。3、推导各种变换公式，是很好的基本功训练 傅里叶变换、拉氏变换和z变换三大变换都有专门的表可供参考，但是我建议每个想学好《信号与系统》这门课的同学都独立把所有公式都推导一遍，好处是：在推导过程中，反复用到各种变换的性质，无形中更加深刻地领会变换的各种性质。下面是我推导的吴大正《信号与线性系统分析》（第4版）附录五“拉普拉斯逆变换表”所有公式，并改正了其中的一个错误，即编号为4-2的变换。我把推导过程详细地写下来，发给同学们看，如下图所示。我敢打包票地说，我写的公式推导没有一个学生认真地阅读。

4、一定数量的刷题是必不可少的

学习任何理论，刷一定数量的题目都是不可少的，因为书上的理论都是放之四海而皆准的真理，是“矛盾的普遍性”，怎样拿这些普遍真理取解决实际问题，是“矛盾的特殊性”，要把普遍性和特殊性结合起来，唯有刷题，解决实际问题。会做题了，说明对基本理论掌握了，融会贯通了，否则需要继续加深对基础理论的理解，即看书学习。牛顿有一句名言：“你若想获得知识，你该下苦功；你若想获得食物，你该下苦功；你若想得到快乐，你也该下苦功，因为辛苦是获得一切的定律。”让我们不畏艰险，勇敢地克服学习上的一道道难关吧。

三、学好信号与系统的关键

学好信号与系统有两个关键：复数和信号分解。1、 复数复数是一个很强大的工具，能将很复杂的数学问题很简单地表达出来，没有复数这个有力的工具，真不知道信号与系统这门课将会复杂到什么程度，也许根本不会出现这门学问。2、 信号分解 没有信号的分解，要求出任意信号通过系统的响应将会是很困难的。各种变换其实就是信号分解思想的运用。信号分解可以在两个域中进行：时域和变换域。在时域，将复杂的信号分解为基本信号，由基本信号通过系统的响应和系统的线性时不变性质，可以推出卷积、卷积和公式，但是计算仍然太麻烦，于是引入另一种信号分解，即变换域分解。傅里叶变换将信号分解为许多不同频率信号的叠加，拉氏变换和z变换将信号分解为另两种形式的复指数信号。分解的好处是把困难的问题化为简单的问题。

四、我学习信号与系统的过程

我的本科是在中山大学读的，学的不是通信，所以几乎所有的通信知识都是自学掌握的。在学习中遇到一些问题，数学方面当然没有任何障碍，困难主要在于物理意义的理解上。在和师兄弟讨论学术问题时，我才意识到自己对很多理论没有真正理解，完全是把专业理论课当做数学来学的。直到我将《信号与系统》、《通信原理》和《数字信号处理》等重要课程都讲了一遍之后，很多理论的物理意义我才有了比较深刻的理解，而且能融会贯通，能解释现实中的各种通信现象。所以，我在前面特别强调对数学公式中的物理意义的理解。 我自学信号与系统这门课时，用的是这本教材：陈生潭等的《信号与系统》（第二版），西安电子科技大学出版社。

窃以为这本书比吴大正的那本教材更好，可能是先入为主的缘故吧。该书理论讲得很好，美中不足的是课后习题答案很多错误，可能是研究生甚至是本科生帮忙做的，我把能发现的错误都更正过来了。

我自学信号与系统时，一般是每一章花三天：一天看理论，两天做习题，全书二十多天结束。做题时，我不是有选择地做，而是从头到尾全部做完，只有极少数的题目没有做。中国古时有谚语：贼来如梳，兵来如篦，官来如剃，我做题一般是“官来如剃”的。现在的学生是连稀稀拉拉地“梳”一下习题都不认真的，更不用说“篦”和“剃”了。不做习题，就不会灵活地运用所学的理论，要么是完全不懂，要么是似懂非懂。学习各种变换的性质时，不仅要知其然，也要知其所以然，懂得每一条性质的来龙去脉，即把证明过程看懂。最后，再重复一遍牛顿的名言： 你若想获得知识，你该下苦功；你若想获得食物，你该下苦功；你若想得到快乐，你也该下苦功，因为辛苦是获得一切的定律。

原文标题：信号与系统学习经验谈——信号与系统综述

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责任编辑：haq