如何正确理解系统的零输入响应

系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号作为输入时的响应。系统的输入信号去除以后，输出的响应信号一般不会突然消失。这是因为在输入信号去除之前，系统中的储能元件中一般总蓄有电磁，而这些能量不可能突然消失，它将逐渐释放出来，直至最后消耗殆尽。零输入响应正是由这种初始的能量分布状态，即初始条件所决定的。

为求系统的零输入响应，就要解下面式子所示的齐次方程。

现在，先来讨论求解一阶和二阶齐次微分方程的简单情况。

一、一阶齐次微分方程

常数c可以根据初始条件t=0，r（t）=r（0）来确定c=r（0），于是得

二、二阶齐次微分方程

再来看下二阶的齐次微分方程

可见，对于算子形式的微分方程，也可以像代数方程那样处理。

既然这两个解中任一个都能满足式

那么它们的和当然亦然能满足。所以二阶齐次方程解的一般形式应为：

三、n阶齐次微分方程

上述方法可以推广到求一般形式的齐次方程，为此先要把此式写成因式相乘的形式，即

与二阶齐次方程的解相似，上面一般形式的齐次方程的解的一般形式应为：

这也就是用n阶线性微分方程描写的系统的零输入响应的一般形式，它和拉普拉斯变换求解零输入响应导出的公式是完全相同的；

式中各λ就是复频域中转移函数的极点，它们决定了响应中的自然频率。

式中c1、c2、。。.、cn是n个初始条件确定的常数，显然为了确定这些常数，需要n个初始条件。

现在设初始条件t=0时，r（t）及其直到n-1阶的各阶导数的值r（0）、r‘（0）、r’‘（0）。。.，把这些初始值代入下式及其直到n-1阶的各阶导数式，得到下列联立方程组：

此联立式可以记为矩阵形式：

上面所示方程D（p）=0的根曾经假定全部是单根。如果有重根，那么方程的解也就不同于上面所示的简单形式。

这个解加上对应于方程D（p）=0的其他根的解，即为零输入响应函数的完全解。

编辑：jq