高斯光学，理想的光学系统

引言

所谓的理想光学系统，就是对足够大空间内的各个点能以足够宽光束成完善像、理想像的光学系统。

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理想光学系统

高斯光学（Gaussian optics）是指1841年C.高斯建立的研究理想光学系统的几何光学理论。它适用于任何结构的光学系统，但所研究的光线必须满足近轴条件。

所谓近轴条件，指的是光线与系统光轴的夹角α的正弦值可用角值（单位为弧度）代替，即sinα≈tanα≈α，cosα≈1。为便于一般地了解光学系统的成像性质和规律，在研究近轴区成像规律的基础上建立了理想光学系统的光学模型。

理想光学系统将物空间的同心宽光束转换到像空间的同心光束，这种从一个空间变换到另一个空间的情况，在数学上可以归结成“共线变换”或“共线成像”的问题，这种共轴理想光学系统理论是由高斯建立起来的，因此人们也把理想光学系统理论称为高斯光学。

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物像关系的特性

1、点成点像：即对于物空间的每一点，在像空间必有一个点与之相对应，且只有一个点与之对应，这样的两个对应点称为物像空间的共轭点（如下图中的A点和A′点）。

2、线成线像：即对于物空间的每一条直线，在像空间必有一条直线与之相对应，且只有一条直线与之对应，这样的两条对应直线称为物像空间的共轭线（如下图中的BC和B′C′）。

3、平面成平面像：即物空间的每一个平面，在像空间必有一个平面与之相对应，且只有一个平面与之对应，这样的两个对应平面称为物像空间的共轭面（如下图中的PQ面和P′Q′面）。

由此推广，如果物空间上任意一点D位于直线BC上，那么其在像空间的共轭点D′也必位于共轭线B′C′上。同样，物空间中的一个同心光束必对应于像空间中的另一同心光束。上述这种点对点、直线对直线、平面对平面的成像，称为共线成像。

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基点 基面

如下图所示，O1和Ok两点分别是理想光学系统第一面和最后一面的顶点，FO1OkF′为光轴。物空间的一条平行于光轴的直线AE1经光学系统折射后，其折射光线GkF′交光轴于F′点，另一条物方光线FO1与光轴重合，其折射光线OkF′无折射地仍沿光轴方向射出。

由于像方GkF′、OkF′分别与物方AE1、FO1相共轭，因此，交点F′为AE1和FO1交点（位于物方无穷远的光轴上）的共轭点，所以F′是物方无穷远轴上点的像，所有其它平行于光轴的入射光线均会聚于点F′，点F′称为光学系统的像方焦点（或称后焦点、第二焦点）。显然，像方焦点是物方无限远轴上点的共轭点。

基点 基面

同理，点F称为光学系统的物方焦点（或称前焦点、第一焦点），它与像方无穷远轴上点相共轭。任意一条过F点的入射光线经理想光学系统折射后，出射光线必平行于光轴。

通过像方焦点F′且垂直于光轴的平面，称为像方焦平面（像方焦面）；通过物方焦点F且垂直于光轴的平面，称为物方焦平面（物方焦面）。

显然，像方焦平面的共轭面在无穷远处；同样，物方焦平面的共轭面也在无穷远处。像方焦平面上任何一个物点发出的光束，经理想光学系统出射后必为一平行光束；任何一束入射的平行光，经理想光学系统折射后，必会聚于像方焦平面上的某一点。

必须指出，焦点和焦面是理想光学系统的一对特殊的点和面。物方焦点F和像方焦点F′彼此之间不共轭，同样，物方焦平面和像方焦平面也不共轭。

如下图所示，O1和Ok两点分别是理想光学系统第一面和最后一面的顶点，FO1OkF′为光轴。物空间的一条平行于光轴的直线AE1经光学系统折射后，其折射光线GkF′交光轴于F′点，另一条物方光线FO1与光轴重合，其折射光线OkF′无折射地仍沿光轴方向射出。由于像方GkF′、OkF′分别与物方AE1、FO1相共轭，因此，交点F′为AE1和FO1交点（位于物方无穷远的光轴上）的共轭点，所以F′是物方无穷远轴上点的像，所有其它平行于光轴的入射光线均会聚于点F′，点F′称为光学系统的像方焦点（或称后焦点、第二焦点）。显然，像方焦点是物方无限远轴上点的共轭点。

如下图所示，延长入射光线AE1和出射光线GkF′，得到交点Q′；同样，延长入射光线BEk和G1F，可得交点Q。

设光线AE1和BEk的入射高度相同，且都在子午面内。显然点Q和点Q′是一对共轭点。点Q是光线AE1和FQ交成的“虚物点”；点Q′是光线BEk和GkF′交成的“虚像点”。

过点Q和点Q′作垂直于光轴的平面QH和Q′H′，则这两个平面亦相互共轭。由图可知，位于这两个平面内的共轭线段QH和Q′H′具有相同的高度，且位于光轴的同一侧，故其垂轴放大率β =+1。我们称垂轴放大率为+1的这一对共轭面为主平面，其中的QH称为物方主平面（或前主面、第一主面），Q′H′称为像方主平面（或后主面、第二主面）。

物方主平面QH与光轴的交点H称为物方主点，像方主平面Q′H′与光轴的交点H′称为像方主点。

基点 基面

一对主点和一对焦点构成了光学系统的基点，一对主面和一对焦面构成了光学系统的基面，它们构成了一个光学系统的基本模型（下图所示）。

对于理想光学系统，不管其结构（r，d，n）如何，只要知道其焦距值和焦点或主点的位置，其性质就确定了。

参考文献：

【1】施特格。 机器视觉算法与应用［M］。 清华大学出版社， 2008.

【2】理想光学系统。百度百科

【3】工程光学（六）——几何光学（进阶）.Tyalmath 。知乎

编辑：jq