关于相干信号源的处理方法

在实际环境中相干信号源是普遍存在的，如信号传输过程中的多径现象，或者敌方有意设置的电磁干扰等。相干信号源的检测与估计是空间谱估计中一个重要的研究方向，因此这里介绍一下相干信号源的数学模型。相干信号与非相干信号模型如下图所示。

图源自网络

当考察多个信号时，这些信号之间可以是不相关的、相关的或相干的。对两个平稳信号 和 ，定义它们的相关系数为

由 Schwartz 不等式可知 ，因此，信号之间的相关性定义如下

独立相关相干由上面的定义可知，当信号源相干时其数学表现为：相干信号源间只差一个复常数，假设有 个相干源，即

这里 可以称为生成信源，因为它生成了入射到阵列上的 个相干信号源。则可得相干信号源模型

式中， 是由一系列复常数组成的 维矢量。

由前面的讨论可知，MUSIC 算法在理想条件下具有良好的性能，但在信号源相干时算法的性能变得很坏。为什么信号源相干对算法的性能有这么大的影响呢?

当信号源完全相干时，阵列接收的数据协方差矩阵的秩降为 ，显然这就会导致信号子空间的维数小于信号源数。也就是说信号子空间“扩散”到了噪声子空间，这会导致某些相干源的导向矢量与噪声子空间不完全正交，从而无法正确估计信号源方向。

由上面的分析可知：在相干信号源情况下正确估计信号方向(即解相干或去相关)的核心问题是如何通过一系列处理或变换使得信号协方差矩阵的秩得到有效恢复，从而正确估计信号源的方向。目前关于解相干的处理基本有两大类：一类是降维处理;另一类是非降维处理。

降维处理算法

降维处理算法是一类常用的解相干处理方法，可以分为基于空间平滑、基于矩阵重构两类算法。

其中，基于空间平滑的算法主要有前向空间平滑算法、双向空间平滑算法、修正的空间平滑算法及空域滤波法等;基于矩阵重构的算法主要是指矩阵分解算法及矢量奇异值法等。

空间平滑类算法和矩阵重构类算法区别在于矩阵重构类算法修正后的协方差矩阵是长方阵(估计信号子空间与噪声子空间需用奇异值分解)，而空间平滑算法修正后的矩阵是方阵(估计信号子空间与噪声子空间可以用特征值分解)。

非降维处理算法

非降维处理算法也是一类重要的解相干处理方法，如频域平滑算法、Toeplitz方法、虚拟阵列变换法等。这类算法与降维算法相比最大的优点在于阵列孔径没有损失，但这类算法往往针对的是特定环境，如宽带信号、非等距阵列、移动阵列等。本期我们将首先讨论空间平滑类算法。

空间平滑算法

众所周知，空间平滑算法是针对一般超分辨算法不能解相干而提出的一种有效方法，它在一般情况下只适合于均匀线阵(ULA)。下面简要介绍空间平滑 MUSIC 利用子阵平滑恢复数据协方差矩阵的原理，然后深入讨论加权空间平滑算法的思想。

空间平滑算法的原理

对于一窄带情况下的均匀线阵，第 个阵元接收的数据为

式中， ， ， 为阵元数， 为信号源数。其中， 为均匀线阵的间距， 为信号传播速度。对于均匀线阵，令 。

空间前向平滑技术的原理如下图所示，将均匀线阵( 个阵元)分成相互交错的 个子阵，每个子阵的阵元数为 ，即有 。

如上图所示，取第一个子阵(一般为最左边子阵)为参考子阵，则对于第 个子阵数据模型

式中， 为子阵导向矢量阵。其中

于是该子阵数据协方差矩阵为

前向空间平滑 MUSIC 方法对满秩协方差矩阵的恢复是通过求各子阵协方差矩阵的均值来实现的，即取前向平滑修正的协方差矩阵为

其中， 。

注：如果子阵阵元数目 ，则当子阵个数 时前向空间平滑数据协方差矩阵 是满秩的。

如果按下图划分子阵，即采用后向平滑的方法划分子阵。

则第 个子阵的数据矢量

比较该式和前向空间平滑子阵数据模型式可得，前向第 个子阵与后向第 个子阵存在如下关系：

其中， 为 维的交换矩阵。

所以后向平滑第 个子阵的数据协方差矩阵为

又因为

所以

则后向空间平滑修正的数据矩阵为

其中， 。对于上述的后向空间平滑算法，同样可得出如下定理。

如果子阵阵元数目 ，则当子阵个数 时后向空间平滑数据协方差矩阵 是满秩的。

上面是从各子阵的数据协方差矩阵角度出发得出的结论，下面换一个角度来考虑上述的空间平滑算法。定义如下两个 数据矩阵

其中， 是反对角线为 的置换矩阵。

通过上面的定义发现前向平滑及后向平滑的子阵数据模型可以分别变为以下两式：

可得到它们的协方差矩阵

则前后向平滑修正后的数据协方差矩阵可以用以下两式表达

仔细分析以上两式。考虑前后向空间平滑算法中的第 个子阵的数据协方差矩阵式 及式 在原始数据协方差矩阵 中的位置，可以看出， 相当于矩阵 中第 行(列)到第 行(列)的一个子阵，而 与 满足下列关系：

将整个数据协方差矩阵 分为如下图所示的 个相互重叠的子阵，子阵的维数都是 ，图中的 相当于矩阵 中第 行到第 行及第 列到第 列的一个子阵，即 。

前向平滑的第 个子阵的协方差矩阵 就相当于上图中整个数据协方差矩阵 的第 行 第 列 分块阵 ，而后向平滑子阵的数据协方差矩阵 只不过是对 的一种处理。即前、后向空间平滑的修正矩阵可以简化成下式：

从上述分析中可知，前后向空间平滑算法只利用了 的对角线上的分块阵 (即各子阵的自相关信息)的平均，而没有利用 的非对角线上的分块阵 (各子阵间的互相关信息，其中 )。

加权空间平滑算法

通过上面的讨论，可以发现常规的空间平滑算法的原理就是利用原始数据协方差矩阵的各对角子阵信息(子阵的自相关信息)实现解相干，没有利用各子阵间的互相关信息。很显然，对于大阵列小子阵阵元数的情况，整个数据矩阵的信息会有很大的损失，不可避免导致算法性能的下降。

为此，提出一种充分利用阵列所有子阵的互相关及自相关信息的方法加权空间平滑算法。下面详细分析这一算法，该算法的协方差矩阵由下式构成：

式中， ， 均是一个 的加权矩阵， 为前向加权的修正矩阵， 为后向加权的修正矩阵。上面算法的实质就是对数据协方差矩阵的各子阵进行加权求和，从而实现对相干信号源的解相干。

该式可以看成是空间平滑算法的统一框架，不同的前后向加权矩阵可以得到不同的空间平滑算法。下面列举加权空间平滑算法的几个特例。

(1)当前向平滑权矩阵 ，而后向平滑权矩阵 ，且 时

该式即为前面介绍的常规前向空间平滑(SS)算法。

(2)当前向平滑权矩阵 ，而后向平滑权矩阵 ，且 时

该式即是前面介绍的后向空间平滑算法。

(3)当前向平滑权矩阵 ，面后向平滑权矩阵 ，且 时

该式即是修正的空间平滑(MSS)算法，通常也称为双向平滑算法，其实质就是前向平滑修正矩阵式与后向平滑修正矩阵式的平均。

对于双向空间平滑算法，如果子阵阵元数目 ，则当 ，且取最优权时的双向加权空间平滑能保证数据协方差矩阵 是满秩的。

由前面分析可知，单向的空间平滑 MUSIC 算法需要有 个子阵恢复满秩协方差矩阵，而双向空间平滑 MUSIC 算法只需要 个子阵恢复满秩协方差矩阵，因此与单向空间平滑相比，双向平滑阵列孔径损失小。

事实上，当有 个信源、每个子阵的阵元数为 时，要分辨这些信源，双向平滑共需 个阵元，而单向平滑却至少需要 个阵元。因此当阵元数定时(共 个阵元)，前向平滑最多可分辨 个相干信源，而双向平滑技术则可以分辨 个相干信源。

空间平滑的 MUSIC 算法及其仿真分析

通过上面的分析可知，空间平滑的 MUSIC 算法之间的不同点在于得到修正协方差矩阵的方法不同，但它们的目的都是为了通过空间平滑处理实现解相干。

下面，我们总结基于空间平滑的 MUSIC 算法的计算过程。

由阵列的接收数据得到数据协方差矩阵

利用上述介绍的方法对 进行修正

利用修正的协方差矩阵进行 MUSIC 谱估计，找出极大值对应的信号方向

空间平滑算法的实质是对数据协方差矩阵的秩进行恢复的过程，但这个过程通常只适用于等距均匀线阵，而且修正后矩阵的维数小于原矩阵的维数，也就是说解相干性能是通过降低自由度换取的。

下面为在 信噪比条件下， 个相干信号源分别从 入射时传统 MUSIC 算法的成像效果以及空间平滑的 MUSIC 成像效果。其中，阵列天线数 ，平滑阶数 。

从仿真效果中可以看出，传统 MUSIC 算法无法正确估计相干信号源方向，而空间平滑算法能准确估计出相干信号源方向，且从仿真效果可以看出，双向平滑算法(MSS)分辨率要明显好于前后向平滑算法(SS)。

本文理论部分参考自《空间谱估计理论与算法》。

在上期我们介绍了降维处理解相干可分为空间平滑和矩阵重构两类算法。

矩阵重构类算法

下面讨论矩阵重构类算法，矩阵重构类算法主要分为三类：一是矢量奇异值法;二是矩阵分解算法;三是 Toeplitz 类算法。

矢量奇异值法(SVD)

对数据协方差矩阵进行分解可以分别得到由信号特征矢量组成的信号子空间及由噪声特征矢量组成的噪声子空间，且信号源完全不相关时，信号子空间的维数等于信号源数，而当信号源相干时，信号子空间的维数会减少。那么这个信号特征矢量与导向矢量之间有什么关系?

假设 个窄带远场信号入射到 个阵元组成的阵列上，则阵列流型矩阵的秩为 ，信号协方差矩阵的秩为 ，假设噪声协方差矩阵 为满秩矩阵，则有如下线性关系满足

其中， ， 为特征矢量， 为线性组合因子。

由上述分析可知，当噪声协方差矩阵为理想白噪声时，上式可简化为

上式说明无论信号源是否相干，对应大特征值的特征矢量是各信号源导向矢量的一个线性组合。考虑最极端的情况，如 (信号源完全相干)时，上式左边只有一个最大特征值对应的特征矢量

该式说明数据协方差矩阵的最大特征矢量 包含所有信号的信息。我们会想到能否直接利用最大特征矢量来解相干?答案是肯定的。根据上式，可以重新构造如下一个矩阵

式中， ， ， 。

上式组成的协方差矩阵可以表示为如下形式

其中， ，矩阵 ， 分别为 个信号组成的维数为 和 的阵列流型。如果对 进行奇异值分解有

其中， 是一个 的由奇异值组成的矩阵， 是左奇异矩阵， 是右奇异矩阵，则理想情况下矩阵 的非零奇异值为 个，也就是小奇异值对应的左奇异矩阵中的矢量组成的空间即是噪声子空间，非零奇异值对应的矢量即是信号子空间。

上述定理提供了一种有效的解相干算法——特征矢量奇异值法(ESVD)。另外需注意，将矩阵 中的最大特征矢量 换成无噪声的快拍数据后，就是一种直接针对数据处理的矢量奇异值法(DSVD)。其数据矢量通过下式获得

其中， 是 的一个参考阵元的数据矢量， 是 的阵列接收数据矩阵， 为快拍数，也就是数据接收矩阵与参考阵元数据相乘的平均，然后用得到的数据矢量 代替矢量 重构数据矩阵 。

由上述说明可以看出，矢量奇异值算法的共同点在于找出一个矢量，这个矢量要包含所有的信号信息，这样在重构的数据阵中就可估计出相干信号源的信号或噪声子空间。

基于矢量奇异值算法的 MUSIC 计算过程如下所示。

通过预处理得到一个数据矢量

利用数据矢量重构矩阵

利用 MUSIC 算法进行 DOA 估计

关于基于矢量奇异值算法的 MUSIC，作如下进一步说明：

矢量重构算法与空间平滑算法相似，解相干的性能都是通过降低自由度获得的

数据重构矩阵 是一个 矩阵，其中 ，所以为了正确估计信号，必须满足 ， 。另外，由于矩阵 是一个长方阵，所以在利用 MUSIC 算法进行 DOA 估计时，需用奇异值分解，而不是特征值分解

这类算法一般只适用于均匀线阵

下面为在 信噪比条件下， 个相干信号源分别从 入射时传统 MUSIC 算法的成像效果以及 SVD 的 MUSIC 成像效果。其中，阵列天线数 。

从仿真效果中可以看出，传统 MUSIC 算法无法正确估计相干信号源方向，而 SVD 算法能准确估计出相干信号源方向。

矩阵分解算法

矩阵分解算法也是一类矩阵重构的算法，但它的重构与上述的奇异矢量法不同。

设 是 维无零行矢量的矩阵( )， 是 维对角阵，其对角元素互不相等，若 ，则 ，也就是新的矩阵 的秩为 。

若 ，则有

其中， ， 为信号源数， 为阵列接收数据协方差阵， 矩阵 为 的第 行到 行构成的矩阵。

显然上式所示的 MD 算法是针对理想情况下的矩阵重构，与空间平滑技术相似，为了提高解相干的性能，可以在修正矩阵中添加反向平滑项，即得 MMD 算法的修正矩阵

这样做的好处与双向平滑的空间平滑技术相同，可以再提高阵列解相干信号的能力，即解相干源的能力与 MSS 算法相同。

另外，我们也提出了一种减小计算量的修正的矩阵分解算法，其思想是将空间平滑技术应用到矩阵分解中，称之为 SMD 算法。从前面空间平滑的技术中可知，前向平滑后的修正矩阵为 ，后向平滑矩阵为 ，则得到 SMD 算法的修正矩阵为

对上面修正矩阵的处理有一个明显的好处：对修正矩阵的奇异值分解计算量明显少于对 MMD 算法的修正矩阵的奇异值分解，并且算法的稳定性也有相当大的提高。

根据以上的理论分析，将基于矩阵分解的解相干算法归纳为下面所述的步骤。

对阵列的数据协方差矩阵进行重构

对重构的矩阵进行奇异值分解，得到数据的信号子空间与噪声子空间

利用 MUSIC 算法进行 DOA 估计

对于基于矩阵分解的解相干算法，还应注意以下几点：

矩阵分解算法、矢量重构算法与空间平滑算法相似，解相干的性能都是通过降低自由度获得的

数据重构矩阵 是一个 矩阵，为了正确估计相干信号源，必须满足 且 大于相干源的数目

当相干源数多时，SVD 算法的运算量要小很多

相同条件下 MMD 算法的仿真如下所示。

前面讨论的 MUSIC 及相关应用场合的算法都是建立在阵元空间基础上的，即每个阵元都对应于一个数据处理的通道。这一节讨论波束空间的 MUSIC 处理。所谓的波束空间是指先将空间阵元通过变换合成一个或几个波束，再利用合成的波束数据进行 DOA 估计，其原理如下图所示。

从图中可知，波束空间处理需要通过阵元合成一定数量波束通道作为数据接收通道，这和阵元空间处理中每个阵元对应于一个接收通道完全不同。

我们知道，基于特征分解的信号子空间算法的运算量为 ，所以对于大阵列、小信号源数的场合，这类算法很难实时实现。

显然，波束空间方法在这种场合下能有效降低算法的计算量，如果合成波束的维数 ，则 DOA 估计的计算量由 降为 ，所以在合成的波束数 远小于阵元数 时算法的运算量显著下降。

同样，就系统设计而言，数据接收通道的减少可以大大减少系统的复杂性。

波束形成原理及算法

通过前面的知识可知，对于 阵元间距为 的均匀线阵，阵列的导向矢量

显然，上式可以表示成 函数，即 就对应线阵的观察范围为 。注意到由 点离散傅里叶变换因子组成的矢量

该式表明式阵列的导向矢量也是离散傅里叶变换的一种形式，只是傅里叶变换的因子中 变为 ，则有第 次快拍数据的离散傅里叶变换

上式表明阵列的导向矢量其实是一个波束形成器，其权值即是 ，形成的波束主瓣指向 。因为 ，即 的周期为 可定义如下一个 的波束形成矩阵

由上面的分析可知，式中每一列表示波束主瓣指向 的波束形成器，其中 ，则上式共有 个波束形成器，各相邻主瓣指向的间隔为 。

回到我们的主题，我们的目的是通过阵列的接收数据形成 个波束，如何才能形成这 个波束?很显然可以通过选择上式中相邻的 个波束形成器来形成所需要的归一化加权矩阵(该方法记为 )

该式就是基于 DFT 波束形成的方法，采用上式的好处在于形成的变换矩阵满足

则通过波束空间变换后的输出

当 时，上式仍为阵元空间的处理，可用常规的 MUSIC 算法。另外，由上式还可知波束输出由 矢量变为 矢量，对应的协方差矩阵为

其中， 。对上式进行特征分解得到噪声子空间 ，再应用 MUSIC 算法即得波束空间的 MUSIC 算法

除了上面给出的 的一种取值方法外，还有其他取值方法，它们的目的都是通过 个阵列的接收数据形成 个波束，然后通过波束空间的处理方法得到信号源的方位信息。下面讨论一些其他的 取值方法。

(1)设 是一个 的列矢量(该方法记为 )，令

显然，上式不满足 ，即变换矩阵为非正交变换(可以通过处理使之正交化)。

分析上式，不难发现通过波束空间变换后的输出与前节分析的空间平滑的思想相似，即相当于对一个 阵元的阵列进行 的平滑，而子阵的阵元数为 ，即每个子阵的输出为子阵各阵元的求和。

(2)设 是正整数， 是一个 的列矢量(该方法记为 )，则 取如下的矩阵

式中的 指的是由 组成的矢量。通过变换后的阵列输出相当于将整个阵列分为 个子阵，每个子阵的阵元数为 ，而每个子阵的输出为子阵各阵元的求和，且该式满足 ，即上式也是一个正交变换，这种变换方式一般适合大阵列。

(3)定义一个 矩阵 ，可以取波束形成矩阵 如下

当考察两个相邻信号的分辨力问题时，可以取 如下(该方法记为 )

其中， ， 是一个 的满秩矩阵。或者对于某一确定的观察区域 ，将之平分为 份，间隔 ，则可以取矩阵 如下(该方法记为 )

另外 的另一种取法为(该方法记为 )

式中， ， 分别为导向矢量 的一阶导数和二阶导数，式中取 。

注意：需要将矩阵 代入 中得到波束形成矩阵 。

(4)定义如下一个矩阵

则波束形成矩阵可以取矩阵 的 个大特征值对应的特征矢量(该方法记为 )，即

上式也是一种波束形成器。已有文献证明，对于均匀线阵，该波束形成器是最优的。当然当 小于 个波束宽度时，可以定义如下的矩阵

式中， 。这样，波束形成矩阵由 的三个大特征值对应的特征矢量及剩余的其他特征矢量中的 个特征矢量组成(该方法记为 )，即

我们将波束空间 MUSIC 算法的计算过程总结于下：

由阵列的接收数据得到数据协方差矩阵

选择不同的波束形成矩阵 ，利用 得到波束空间的数据矩阵

利用波束空间的数据矩阵进行 MUSIC 谱估计，找出极大值对应的信号方向

对于波束空间的 MUSIC 算法，需要进一步说明的是：

波束空间的 MUSIC 算法实质就是先将阵列形成几个波束，换言之，就是将阵列接收的数据(阵元空间数据)变换到波束空间的数据，再利用波束空间的数据进行 DOA 估计

波束空间的 MUSIC 算法在利用 MUSIC 算法进行搜索时，注意导向矢量的维数必须等于形成的波束数，而且在对波束空间数据进行特征分解时，矩阵的维数也由原来的阵元数降为波束数

波束空间形成矩阵 的选择决定波束空间算法的性能，但 的选择不是任意的，只有各相邻波束满足一定的条件才能正确估计信号源的数目与方向

相关仿真分析

阵元数目为 ，形成的波束数目为 ，信源为 个相互独立的信号源，其方位角分别为 ， ， ， 。对应的信噪比为 ，形成波束的初始阵元为 (第一个阵元)，快拍数为 。图如下所示。

对于相关信号，则只需要把相应的调频率写为 即可，仿真结果如下图所示。

从上面的仿真对比，我们可以得出，一般情况下阵元空间的算法性能优于波束空间，但是使用波束空间算法降低了系统的复杂性，降低了运算量。 由于这种算法因其本质上仍然是 MUSIC 算法，因此对于相干信号，此算法也无法进行解相干。

阵元数目为 ，信源为 个相互独立的信号源，其方位角分别为 ， 。对应的信噪比为 ，形成波束的初始阵元为 (第一个阵元)，快拍数为 ，形成的波束数目变化时测角性能和波束数目关系如下所示。

个波束空间时的测角性能：

个波束空间时的测角性能：

个波束空间时的测角性能：

个波束空间时的测角性能：

个波束空间时的测角性能：

个波束空间时的测角性能：

个波束空间时的测角性能：

从上述仿真可以看出， 由仿真结果可见，波束空间的数目加大时会有效的改善空间角分辨能力，当波束空间的数目等于阵元数目时，这种算法的性能和常规 MUSIC 算法是一样的;但是波束空间数目增加时又会使计算负担加大，那么这种算法的优点也会消失。

原文标题：相干信号源数学模型

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审核编辑：汤梓红