一种优化的方法：记忆化搜索

01 故事起源有一天小K去滑雪，雪山高低不平，当然小K只能从高的地方向低的地方滑，那如何选择路线才能滑的最远呢？ 把这个问题抽象描述如下：

在一个二维地图中，数值代表此处山的高度，在某个点只能滑向上下左右4个相邻的点，最远的滑行路线，也就等价于找出一条最长的数值下降路线。

比如下图中的红色路线就是此时最长的一条路线，长度为10。那要如何找出这样的一条路线呢？    02 分析在每个点上，只能向周围4个方向滑行，当然前提是此处的高度必须比周围高。  我们当然可以选择尽可能高的位置出发，比如图中17比15要高。  但这种有可能会陷入局部最优解，比如从下图中的15开始，最大长度为2。而从13开始会更优，长度为5。  所以启示我们，不能简单的贪心，而是要考虑全局最优，因为每一个起点都有可能是最优的起点。
那就有了初步的框架了，从每一个起点出发，把可行的路线都找出来，也就是能走的路线都走一遍，再比较全局最优的就行了，而且这也正好符合深搜的算法框架。伪代码

intfind(inti,intj){ //向4个方向尝试 for(i=0->3){ if(ok){ returnfind(next)+1 } } } intmain(){ for(i=0->n){ for(j=0->m) { t=find(i,j) ans=max(ans,t) } } } 03 问题上面的做法可以得到最优解，但有一个问题。如下例，以15为起点的时候，会尝试把6->5->4->3->2->1走一遍。但以16为起点的时候，还会尝试把这条路线走一遍，这就会导致大量的重复计算。  那能不能优化呢？ 之所以重复计算，是因为每一次尝试都是重新的开始，它并不知道这条路已经走过了，也就是没有记忆，所以我们引入一种优化的方法，就是记忆化搜索。 04 记忆化搜索可以引入一个f[i][j]数组，记录以(i,j)为起点所能找到的最长路线的长度，初始赋值为-1，表示还没有走过。  当走过一点，就将对应的f[i][j]更新为以(i,j)为起点的最大长度。 再回到上面的问题，因为之前肯定走过了(2,3)，对应的f[2][3]为6，当尝试从(2,4)出发时，会发现周围已经走过了，只需要更新当前的值+1即可，就避免了重复计算。    05 代码实现路线搜索

intfind(vector<vector<int>>&snowMountain,vector<vector<int>>&f,inti,intj,intr,intc){ intx,y; if(f[i][j]!=-1) returnf[i][j]; f[i][j]=1; for(intk=0;k< 4;k++){ x=i+direction[k][0]; y=j+direction[k][1]; //validdirection if(x>=0&&x< r && y >=0&&y< c && snowMountain[i][j] >snowMountain[x][y]){ f[i][j]=maxOfTwo(f[i][j],find(snowMountain,f,x,y,r,c)+1); } } returnf[i][j]; }main函数

intmain(){ ifstreamfin("a.in"); ofstreamfout("a.out"); inti,j,r,c,maxHeight=0; fin>>r>>c; vector<vector<int>>snowMountain(r,vector<int>(c,0)); vector<vector<int>>f(r,vector<int>(c,-1)); for(i=0;i< r; i++)         for(j=0;j< c; j++)             fin >>snowMountain[i][j]; for(i=0;i< r; i++)         for(j=0;j< c; j++) {             maxHeight = maxOfTwo(maxHeight, find(snowMountain, f, i, j, r, c));         }     fout << maxHeight << endl; fin.close(); fout.close(); return0; } 06 总结记忆化搜索是一种非常实用的算法，因为深搜用递归很容易实现，记忆化又避免了重复子问题的计算，提高了运行效率。 这其实就是动态规划的思想，常见的动态规划用递推实现，相比记忆化搜索实现上会更难一点，而记忆化搜索就没有这个问题。 算法的适用场景也需要根据具体的问题来分析，一般常用在地图或者树型结构中。 审核编辑 ：李倩