计算机基础和算法是能否拿到一个好offer的关键因素,月底牛牛就忙完手上项目了,到时也会多分享相关内容,今天就先整一道LeetCode上有趣的算法题热热身:灯泡开关。 01故事起源
初始时有 n 个灯泡,均处于关闭状态。
对某个灯泡切换开关意味着:如果灯泡状态为关闭,那该灯泡就会被开启;而灯泡状态为开启,那该灯泡就会被关闭。
第 1 轮,每个灯泡切换一次开关。即打开所有的灯泡。
第 2 轮,每两个灯泡切换一次开关。即每两个灯泡关闭后一个。
第 3 轮,每三个灯泡切换一次开关。即位于第3、6、9···的灯泡切换开关。
第 i 轮,每 i 个灯泡切换一次开关。而第 n 轮,你只切换最后一个灯泡的开关。
找出 n 轮后有多少个亮着的灯泡。
示例 1:
输入:n = 6 输出:2
02问题分析
通过上面的图例,我们可以很清楚地看到,每一轮都会切换一批灯泡。关键是可能切换到之前已经切换过的灯泡,如果我们通过模拟来暴力解决,那么每一轮就要遍历一次,肯定超时。
那我们换种思路想想,这道题似乎更像一道有数学规律的题,这种类型在面试中也不少见。
不过我们不一定能马上找到规律,那也不要着急,就按部就班:用0表示off, 1表示on,先列出前10个灯泡的答案,看看其中有什么规律可循。
n=1:1
n=2:1 0
n=3:1 0 0
n=4:1 0 0 1
n=5:1 0 0 1 0
n=6:1 0 0 1 0 0
n=7:1 0 0 1 0 0 0
n=8:1 0 0 1 0 0 0 0
n=9:1 0 0 1 0 0 0 0 1
n=10: 1 0 0 10 0 0 0 1 0
03发现规律
我们仔细看看上面的数据就会发现,最后亮灯的位置都在第1、4、9位上,这些位置恰好都是某个因子的平方,比如4,就是2的平方,不知道大家还记得不,在数学上这种数字就叫做完全平方数。
那我们就可以大胆猜测:最后亮灯的位置,都是完全平方数。那么每多一个完全平方数,就多一个亮的灯泡。
当然,这只是一个猜测,我们可以用暴力法写一个程序,把前100个的情况打印出来,就能看出,是满足这个规律的。
都已经验证到100轮了,那么基本就是这个规律了。
所以这道题,其实就是寻找n以内有多少个完全平方数,具体做法是从数字1遍历到数字n,对每个数字判断是否是完全平方数,最差也是O(n)可以解决。
04思考缘由
牛牛是个打破砂锅问到底的人,虽然通过规律,解决了问题,但是不搞清楚为什么,总是心里痒痒的。
我们从上面的规律,可以猜测灯泡亮的数量一定和平方根的特性有关系的。
我们先看看一些非完全平方数:
8的因子: 1 2 4 8;
12的因子:1 2 3 4 6 12;
这些因子一定是偶数个,为什么呢?
因为一个因子,一定是和另一个因子,配合起来,才能得到这个数字。
回到我们的灯泡,比如我们拿n=3的情况来说,第一轮打开了第三轮的灯泡,第三轮就会给它关掉,因为1、3是3的成对因子。
但如果是n=4的情况,1、4虽然也会成对抵消,但是第二轮的操作却无法抵消,因为2的成对因子是2,不会再重复出现。
从这里我们就可以看出来,每增加一个完全平方数,就会多一个不会被抵消掉的因子出现,所以个数也就增加了1。
05更进一步
一般的算法题,O(n)就是性能的极致,但这是一道数学规律题,那我们就得多想想还有没有更快的办法。
要找到有多少个完全平方数,是否一定要遍历完1-n?
稍微思考下就可以发现并不是,拿9举个:3是9的完全平方因子,在3以上的数字一定不能构成完全平方因子,因为开平方一定超过最大数字9了。如此一来,我们只用考虑3之前的。
不难发现,3之前的1、2是必然满足完全平方因子的,因为它们做平方,一定小于3的平方,也就一定在数据范围内。
基于上面的分析,我们可以看出,灯泡亮的个数,就是n的平方根向下取整个,代码就一行:
return (int)Math.sqrt(n)
06灯泡复盘其实在面试中,遇到这种数学模型的题,是很容易翻车的。如果只是干想,在面试紧张的环境下,很可能大脑一片空白。 不过,这种题的套路也是有的,基本都可以用先实验,再猜测,再论证的方式去解决,这个不仅仅是面试套路,也是一种很优秀的做事情的模式。
审核编辑 :李倩
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原文标题:LC319:灯泡开关
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