傅里叶变换的性质 波函数和海森堡不确定性原理

文章来源：中科院物理所

原文作者：Kasper Müller

海森堡

我经常听到人们讲，是因为观察者通过光子和电子发生相互作用使光子的动量受到了影响，所以才导致了海森堡不确定性原理。

观察者必须通过影响电子的动量（或一些量子态）来观察它，这或许是真的，但这不是导致不确定性原理的真正原因！

在开始讨论这个话题之前，让我们先定义海森堡不确定性原理(Heisenberg’s uncertainty principle)。

在量子力学中，存在一系列关于共轭物理量（如位置和动量）的不等式，它们限制了同时测量这些成对物理量的精度，这些不等式中的任意一个都可以被称为不确定性原理（或是海森堡不确定性原理）。

-维基百科

一种常见的表述方式是，在任何给定的时间点，你都无法同时准确地测量粒子的动量和位置。

这种不确定性不取决于设备的好坏，也不是因为很难消除测量误差。无论我们做得多好，我们都无法同时精确测量这两个量（如动量和能量）…

首先，存在许多种不确定性原理，其中不少能在宏观世界中看到。即使你没有意识到它们的存在，但其实也一直在和这些现象打交道。

其次，海森堡不确定性原理背后与数学有着密切的关系。

所有波和物质（共轭变量）都必须遵从一系列的不确定性原理，真正导出这些原理的是一个数学事实（稍后详述）。

音乐、雷达技术、能源技术和光也有必须遵守的“不确定性原理”，我们很快就会看到，是数学决定了这一切。

波

一切都可以归结为非常简单的事情。无论多复杂的的信号或函数，实际上都是正弦波的叠加。正弦波是具有特定波长和振幅的波。

叠加仅仅意味着所有的波相互作用，所有波的和（称为干涉）就是构成更复杂信号的叠加。

也就是说，我们可以将一个函数分解为组成它的更简单的部分（正弦波）。这几乎就是我们在计算傅里叶级数的傅里叶系数时所要做的一切。值得的一提的是，这个方法对于非周期函数同样适用。

这种效果在音乐中是众所周知的，例如，吉他生中的泛音会干扰主波（弦的频率）。也就是说，吉他的声音（以及任何其他乐器，包括你的声音）是由频率和振幅不同的正弦波组成的。

当我们描述这样一个复杂的信号时，我们有两种等价的方式可以选择。也就是说，我们可以选择两种不同的单位对它进行描述。

我们可以选择用时间来描述产生干涉图样的所有波是如何同时相互作用的，也可以选择用构成干涉图样的正弦波的频率来描述它。

可以用两种等效的方式来描述的事件被称为双重关系（dual relationship）。

如果我们可以找到一个数学工具来描述时间信号和频率信号之间的双重关系，那当然再好不过。事实上，我们确实找到了这样的工具。

傅里叶变换

我上面提到的描述这种双重关系的工具叫做傅里叶变换(Fourier transform)。毫无疑问，它是数学工具中最强大、最常用的工具之一。

在给出它的一些特性之前，我们先讲一讲这种傅里叶变换的一些一般性质：

傅里叶变换是一种积分变换（也就是一个算符），它拿到一个函数并返回另一个函数。

作为函数空间上的一个算符，我们可以把它看作是纯数学的客体，但我们可以赋予它很好的物理解释。在物理和数学领域，我们都可以使用它。

今天，我们主要将从物理学的角度来考虑它。

在下面的讨论中，我们假设积分始终收敛。

令是一个可积函数。f的傅里叶变换由以下积分给出：

如果表示声波随时间的变化，那么傅里叶变换的结果表示构成声波的频率，因此也可以看做是频率的函数。

下面的动图显示了声波（图中是单位脉冲信号）是如何由许多正弦波组成的，正弦波的叠加产生了函数，即。

一个脉冲信号的傅里叶变换是一个sinc函数。所有信号都可以用时间或频率表示的正弦波来构造 来源：Lucas Vieira

理解信号总是可以用两种等效的表达方式是非常重要的。只要给定其中一个，另一个是唯一确定的，我们有一个公式可以对它们进行计算。如何选择仅仅取决于我们想用什么方式表达一个信号。

唯一的傅立叶逆变换由以下公式得出：

傅里叶变换的性质

傅里叶变换不是一两节课就可以讲清楚的，我们只能在本文中讲点皮毛。然而，傅里叶变换的一些令人惊奇的特性是一定要讲的：

首先是平移的影响。假设。通过变量的变换，我们得到：

时间平移（信号延迟）会让频率函数产生一个相位移动。那变量的缩放会产生什么影响呢？

假设。我们将分别从a<0和a>0进行讨论。

其中使用了代换u=at。让我们看看当a<0时会发生什么：

进一步我们得到表达式：

它的物理意义是什么？

傅里叶变换的标度特性意味着，如果我们在时间上压缩信号，相当于在频率空间（水平）上扩展信号，反之亦然。

我们很快就会发现，这一结果极其重要。

通过维度进行分析可以给我们提供一个更高层次和有启发性的视角。时间以秒为单位衡量，频率以1/s为单位进行衡量。似乎可以看出，如果把时间展宽变大，频率展宽就会变小，反之亦然。

如果你不知道频率的单位是从哪里来的，我非常能理解你的疑惑。傅里叶变换中的s最终决定了构成信号的正弦波的周期，你可以通过使用欧拉公式将复指数展开为正弦和余弦，或者将傅里叶变换视为一组连续的傅里叶系数来感受这一点。

傅里叶变换有很多炫酷的特性，但由于这不仅仅是一篇关于变换本身的文章，我们将不过多介绍这些特性，感兴趣的读者可以自己来探索这一点。

读者可能会发现一个让计算变简便的特性，即傅里叶变换将求导数转换为乘以一个常数，这是一个有趣且具有实用价值的特性。这意味着一个空间中的微分方程对应于另一个空间中的代数方程。

因此，一些微分方程可以通过变换方程，用代数方法求解，然后将解变换回来（通过傅立叶逆变换）获得原本方程的解。

波函数和海森堡不确定性原理

量子物理学家通过可能存在的量子态来描述量子系统（例如粒子）。

描述量子态的函数族被称为波函数，以位置坐标为变量的波函数的模平方给出了粒子在空间中的概率分布。

因此，我们可以将波函数解释为概率波，表示粒子位于给定空间区域的概率。因此，描述粒子位置的波函数应该被看作是空间中的波而不是时间中的波。

当我们对这个位置波（位置坐标为自变量的波函数）进行傅里叶变换时，可以得到一个频率（空间中的频率）波，它是以粒子动量为自变量的波函数。

仔细想想并不奇怪，因为如果你认为光是波包或物质波，那么动量将由光的频率给出。

我们用和来表示这种关系。其中γ是波长，h是普朗克常数，p是动量，f是频率，E是能量。

我们把一个粒子限制在越小的间隔内，位置波函数就越局域化（被水平挤压）。由于动量波函数是位置波函数的傅里叶变换，动量波函数将被水平拉伸，这意味着动量将有更大的不确定性。这是之前提到的傅里叶变换的标度特性导致的。

事实上，这就是海森堡的不确定性原理！这里只有傅里叶变换起了作用：

其中是普朗克常数，Δx和Δp分别是位置和动量的不确定性（标准差）。

普遍的不确定性

当函数是函数的傅里叶变换时，我们称和为共轭变量或共轭对。事实上，对于任何共轭函数对，都存在不确定性原理。

海森堡不确定性原理只是共轭变量的特例。

从数学角度来看，为什么共轭变量的不确定性原理成立？原因是：短信号，如声音脉冲，需要许多频率不同的正弦波的叠加才能实现，只有许多特定频率的正弦波的叠加才能保证在一定范围之外波的振幅接近于0。相反，信号越像正弦波，描述信号所需的频率就越少。

当你听到很短的一段声音时，你很难确定这段声音包含哪些频率；但如果你听到一段持续时间很长的纯净信号，就能够区分出不同的频率。这也是不确定性原理。

同样的，我们对雷达探测的目标的距离知道得越多，对接近或后退的速度就知道得越少，反之亦然。这是多普勒和距离的不确定性。

还有其它许多共轭变量，它们都遵循各自的不确定性原理，它们有一个共同点，那就是它们的成立都是有数学保证的！波的数学只是限制了我们可以从某一量子态中获取多少信息。

海森堡不确定性原理的影响真实存在

如果你把激光器对准狭缝，光屏会把部分光阻挡在外，对于穿透过去的一部分，接下来会发生神奇的事情。

光线似乎在狭缝后面的屏上扩散开来，如果你让狭缝变得更窄，那么光会弥散地更开。这似乎和我们的直觉不一致？我们限制它的空间分布，它反而弥漫开来。

这个现象就是由海森堡不确定性原理导致的。随着狭缝越来越窄，位置波（波函数）越来越局域化（窄），根据不确定性原理，动量波函数的展宽越来越大，这使得越来越多方向的运动成为可能。

由于动量是一个有方向的矢量，这意味着光子在狭缝另一侧传播时弥散的角度变得越来越大，从而在屏上产生了美丽的衍射图样。

来源

不确定性还可以解释为什么太阳会发光，甚至可以解释为什么霍金辐射的时空现象会让黑洞缩小。

我希望有一点明确：不确定性是一种纯粹的数学现象，但由于量子系统让这些数学理论照进现实，因此不确定性也可以被看成一种物理原理。

作者：Kasper Müller

翻译：Nothing

审校：zhenni

原文链接：

https://www.cantorsparadise.com/heisenbergs-uncertainty-principle-is-pure-mathematics-e14c840659e1

编辑：黄飞