彩虹角的计算

几千年前，人们就一直在努力解释彩虹的起源，艾萨克·牛顿在他1704年的著作中提供了第一个真正令人信服的解释。

普通白光由整个可见光谱组成，通过使用玻璃棱镜折射光，牛顿能够将光分成其组成成分的颜色。我们现在知道光的颜色是由光的波长或频率决定的：波长越长，频率越低，光越红；波长越短，频率越高，光越蓝。不同波长或频率的光被玻璃棱镜折射的角度略有不同，这就是导致不同颜色扩散并形成连续光谱的原因。牛顿意识到许多不同的材料也可以折射光（包括水），这就是他理解雨滴形成彩虹的关键。

人们早就知道，为了让某人观察到彩虹需要三个条件。首先太阳需要在你身后，其次你面前的天空必须有雨滴，第三阳光必须能够在没有任何障碍物（例如云）的情况下直接到达雨滴。

光线在液滴的路径

考虑一束红光入射到如下图所示的球形液滴上，我们暂时假设入射角α为45 度，我们希望计算这束光线穿过水滴时的路径。为了做到这一点，我们将使用斯涅尔定律，该定律将入射角α、折射角β和折射率n联系起来。折射率被定义为光在真空中的速度与光在所研究材料中的速度之比。

空气中的光速非常接近于真空中的光速，因此我们可以假设空气的折射率大约等于1。另一方面，水中的红光的折射率为1.33。我们可以将此信息代入斯涅尔定律，我们会发现折射角为32.12度。因此我们现在可以确定红色光线在液滴内移动时的路径。此后，一部分光线离开液滴，但至关重要的是，另一部分光线反射继续在液滴内传播。最后部分光线再次折射，以与进入液滴相同的45度角离开液滴。

如果我们使用的是一束蓝光而不是红光，这会有什么不同？在这种情况下，折射率会轻微改变，现在不是1.33而是1.34。虽然这似乎没有太大变化，但当我们将其代入斯涅尔定律时，它会产生31.85度的折射角，这导致蓝光在液滴内部的路径与红光不同，甚至与每一种颜色都不同。每种不同颜色光的折射角差异导致光在每个液滴中分散，最终产生彩虹的彩色带。

彩虹角的计算

接下来，我们仔细研究一下几何形状，先以红光为例。在一束光入射到液滴再出射之后，出射光线几乎是与入射光线反向的，我们可以计算出出射光偏离入射光的角度。这个角度很大程度上取决于入射角度α，因此我们把这个偏离角度标记为D(α)。如下图所示，我们可以把所有角度都标示出来。

根据四边形的内角和为360度，我们有以下公式，并进行简化：

我们可以再利用斯涅尔定律，让空气的折射率为1，水对红光的折射率为4/3，于是可以得到：

把最终结果代入上式，我们可以得到：

对于这个结果，最好的方法是用图把它展示出来。我们以D(α)为纵坐标，以α为横坐标绘制曲线，如下图所示。

我们可以从图中看到有一个最低点，先来求这个最低点所对应的值，再来分析它的意义。在最低点处，它的导数值为零：

最终，我们可以算得入射角α=59.4度，而偏转角D(α)=138度。那么这个最低点有什么意义呢？如果我们让入射角从20度到40度，则对应于偏转角D(20)-D(40)=161-145=16度的偏移；如果让入射角从50度到70度，则对应于偏转角D(70)-D(50)=141-140=1度的偏移。换句话说，当入射角α处于最低值附近时，所有偏转的光线都倾向于聚集在一起，以偏转角D(α)等于138度为中心。

这种具有138度偏转角的光线积累意味着此角度的红光更亮更明显，与之对应的观测角42度被称为红光的彩虹角，也就是我们看到红光的最佳角度。此外，通过这种方法，我们也可以算得蓝光的彩虹角大约为40度。在这两个角度之间，我们就可以看到完整的彩虹。

有时候我们还可以看到双彩虹，在主彩虹旁边还有一亮度较不明显的次级彩虹。我们上面计算的是光在液滴中反射一次，如果光在液滴内反射两次，那么形成的就是次级彩虹，由于篇幅有限，这里就不再进行计算。

审核编辑 ：李倩