协同定位LS模型的凸性分析

摘 要：精确的位置信息在无线传感网络（WSNs）中扮演着重要地位，基于用户节点之间信息交互的协同定位可以提供高精度定位，是目前非常有前景的研究方向。传统的协同定位模型，例如最小二乘（LS）模型，依赖于从先验测量信息中得到粗略的位置估计作为迭代初值。由于代价函数一般为非凸，该模型对迭代初值的选取十分敏感，计算结果容易陷入局部极值。为了深入解释这一现象，文中通过求取最小二乘代价函数的二阶导数，同时对相应的 Hessian 矩阵进行相似变换，分析了最小二乘代价函数的凸性，得出最小二乘代价函数为凸的一个充分不必要条件。同时利用数值仿真验证了当用户节点测距偏差全部为负数时，最小二乘代价函数在全局范围内为凸函数，这一结论为后续研究奠定了理论基础。

0 引 言

实时高精度位置感知在无人机技术、医疗服务、搜索救援、智能图书馆、自动驾驶等领域中有着广泛的应用［1⁃3］。近年来，作为传统无线传感网络（WirelessSensor Networks，WSNs）定位方法的补充，协同定位受到越来越多的关注。所谓的协同定位是指多用户节点之间的协同，与传统定位方法相比，该方法增加了用户节点之间的几何测量与通信。协同定位算法有很多，基于到达时间（Time of Arrival，TOA）的极大似然估计模型是应用最为广泛的定位模型之一，当测距误差服从高斯分布 时 ，极 大 似 然 模型与最小二乘估计模型（LeastSquare，LS）等价［4］。为了求得该模型的最优解，比较常见的算法为牛顿迭代法或高斯⁃牛顿迭代法。文献［5］给出了这两种算法的收敛性证明，指出收敛性与代价函数的凸性紧密相关，当目标函数为严格凸时（Hessian矩阵正定），由牛顿算法解算LS模型为强整体二阶收敛。

划分一个优化问题难易程度的分水岭在于其代价函数是凸或者非凸［6］，而 LS 定位模型的代价函数一般为非凸，因此求解LS定位模型代价函数的全局最优解是困难的，属于NP难问题，目前已有相关研究尝试对这一个问题进行解决。文献［7⁃8］对单用户定位场景下的LS 模型进行了深入分析，提出了代价函数满足全局为凸的条件。LS模型基于最小方差准则（这一准则也是其他定位模型的基础），例如极大似然、加权最小二乘、递推最小二乘等。与此同时，相比递推最小二乘，卡尔曼滤波（Kalman Filtering，KF）模型相当于在两次迭代之间多了状态转移步骤，其核心也是通过最小化方差求得最优估计［9］。因此，对LS定位模型的凸性进行分析具有一定的代表性，其相关结论可以通过最小方差准则推广到其他定位模型。

在协同场景中，当用户节点数量增多时，函数的局部极值点增多，使得迭代算法对初值更加敏感并导致算法不收敛。本文将对协同定位LS模型的凸性进行分析，以深入解释这一现象。

1 无约束最小二乘定位模型

1.1 节点与链路定义

在基于TOA方法的定位场景中，设用户节点个数为M，用Fc={T1 ， T2 ，⋯， TM}表示其编号的集合，用户节点真实坐标为xj∈Rη，1≤j≤M，j∈N+，η∈N+为定位场景欧几里得空间维度。锚节点的个数为N，其编号的集合为Fa={A1，A2，⋯，AN}，锚节点真实坐标为si ∈Rη，1≤i≤N ，i∈N+。设所有节点的集合记为Ft，则Ft =Fa⋃Fc。在定位场景中，定义任意两点之间的距离观测为一条测距链路，假设某个场景中共有 L 条测距链路，记各个链路编号的集合为L={l1 ， l2 ，⋯， lL}。定位场景中的测距链路可以分为两类：一类为用户与锚节点之间的测距链路（以下简记为 AT 链路）；另一类为协同测距链路（以下简记为 TT 链路）。设所有链路距离观测值的集合记为 Dt，其中 AT链路距离观测值的集合记为 Da，TT链路距离观测值集合记为Dc，易知Dt=Da⋃Dc，Da⋂Dc=∅，并且有|Dt=L|，|Da=N|，|Dc= L - N|。令dK1K2是节点编号 K1到 K2点的真实距离，dK1K2为两点之间距离的估计值，其中 K1 ，K2 ∈ Ft。

1.2 测距偏差定义

由于信号在传播过程中会受到观测噪声、多径效应以及非视距（Non⁃Line of Sight，NLOS）传播的影响，观测值不等于节点之间的真实距离，存在测距偏差。设偏差向量为ε=［ε1，ε2，⋯，εL］T∈RL，其中εi表示第i条链路上的测距偏差。在视距（Line of Sight，LOS）传播环境中，测距偏差完全由观测噪声引起，其通常满足均值为零、方差为常数的高斯分布，用εLOS表示。在NLOS环境中，除了噪声以外还存在一个正偏差，假设此正偏差满足均值和方差都为常数的高斯分布，用εNLOS表示。基于以上假设，可以对测距偏差建模如下：

式中：

1.3 最小二乘模型定义

在非协同定位场景中，假设有M个用户节点，且任意两个用户节点之间无测距和数据交互。考虑某一用户节点Tj，其位置的真实值为xj，令xj表示Tj节点坐标的估计值，则有：

式中2表示两点之间的欧几里得距离。

若测距链路个数为N，分别记为l1 ， l2 ，⋯， lN，令与之相对应的距离真实值与估计值分别为di和di，且有：

式中：1≤i≤N， i∈N+；qja是与节点Ti 相连接的链路个数。设距离观测值为ρi∈Da ， 1≤i≤N， i∈N+，如果考虑偏差的存在，由定义可知，距离观测值与真实距离之间的关系为：

那么非协同场景中无约束LS估计模型可以表示成如下形式：

在非协同场景中，设Tj节点真实坐标和坐标估计值分别为xj和xj，那么有：

设测距链路有L条，分别记为l1 ， l2 ，⋯，lN，与之相对应的距离真实值与估计值分别记为di和di 。若1≤i≤N，li为AT链路，按照式（3）对di和di 进行赋值。若N《i≤L，li为TT链路，按照式（7）进行赋值：

式中：qjc是链路端点为Tj Tk且满足k》j的TT链路个数，Tk∈Uj，k》j，j≥2，Uj为与Tj之间存在测距链路的用户节点的集合，其元素下标按由小到大的顺序进行排列。令Tk为 Uj中第g个元素，且 g的值按照式（8）进行计算：

设ρi∈Dt， 1≤i≤L， i∈N+ 为距离观测值，其与真实距离之间的关系满足式（4）。在此基础上构建协同场景无约束LS模型为：

在本文中统一称Fs和Fc为LS定位代价函数并且将其记为F。

2 模型的非凸性分析

2.1 非协同定位场景分析

为了便于分析且不失一般性，本文选取η=2。由凸分析相关理论可知，函数的凸性与其Hessian矩阵密切相关，并且有如下定理成立：

定理1［6］：函数为凸的二阶条件。假设x的函数f二阶可微，定义域domf为凸集且Hessian矩阵存在，则函数在domf中为凸的充要条件为：对于∀x∈domf，其Hessian矩阵为半正定矩阵。

首先求取代价函数Fs的梯度（一阶微分）和Hessian矩阵（二阶微分），计算结果分别如下：

运用定理1可以得出以下推论：推论1：当LS代价函数的dom Fs为R2时，其定义域为凸集。令∇2x1≽0，设满足此条件的所有x1的集合为A，则当x1∈A时，Fs为凸函数。

上述推论给出了LS代价函数为凸的一个充分必要条件。∇2x1为实对称矩阵，关于实对称矩阵有以下两个引理成立：

引理 1［10］：实对称矩阵的特征值均为实数。

引理 2［10］：实对称矩阵是半正定矩阵的充要条件为其所有特征值非负。

由引理2可知，对∇2x1半正定的判断可以转化为对其特征值正负的判断。设J=∇2x1，J∈R2 × 2，令Jij 为J 中各个元素，设J的特征值为λ，其特征多项式为：

令G=0，可以得到特征多项式方程为：

式（13）为一元二次方程，由引理1可知，此方程必存在2个实根，即根的判别式Δ≥0恒成立，函数2个非负实根的充分必要条件为：

推论2：所有满足不等式组（14）条件的x1的集合为A。

推论2是LS代价函数为凸的一个等价条件。然而，由于不等式组（14）的非线性特征，使得对该不等式组分析变得比较困难。下面将针对一类特殊的情况进行讨论，并且作出简要证明。

命题1：存在一个集合C，若该集合中所有估计值x1均满足di-ρi ≥ 0，则在此集合中最小二乘代价函数Fs为凸，且满足C⊆A。

引理3：有限个半正定矩阵的和仍为半正定矩阵。即若Ri≽0， 1≤i≤N， i∈N+，则有W=∑i=1N，Ri ≽ 0。

考虑对J进行分解，并且令J =∑i =1NQi

其中：

对Qi求特征值，令：

化简得：

因式分解可求得λ的2个根分别为：

从式（18）中可以看出，矩阵Qi有2个特征向量，其中λ1》0 恒成立，所以当λ2=di-ρi ≥0时，Qi ≽0。由引理3易知，当di-ρi≥0， 1≤i≤N， i∈N+ 成立时，J≽0。所有满足此条件的估计值x1的集合即为C。

命题1实际上是Fs局部为凸的一个充分不必要条件，Fs的非凸区间会随着εi 的增大而减小，且当满足εi》0的测距链路数量增多时，Fs的非凸性也会增强。

2.2 协同定位场景分析

在协同场景中，测距链路由AT链路和TT链路两部分组成。受引理3的启发，将Fc的 Hessian矩阵J分解为若干个子矩阵Qi，每一个Qi 实际上是一个与估计值相关的函数f（di）=（di-ρi2），子矩阵中的各个元素为f（di）对用户节点坐标的二阶偏导。在2.1节中，证明了当li为AT链路时满足命题1，接下来说明当li为TT链路也具有类似于命题1的性质。为了便于分析，选取协同场景中的某一条TT链路lk，记此链路两端的用户节点为Tm，Tn。其估计值分别为（xm，ym），（xn，yn），测距观测值为ρk，此时LS代价函数为：

分别对xm，xn，ym，yn求偏导，可得梯度向量（一阶微分）为：

则Hessian矩阵为：

求取J 的特征值，通过计算可以求得其特征多项式为：

可以解得其4个特征值分别为：

由式（23）可知，当dk-ρk≥0时，J≽0。接下来做进一步地推广，证明当LS代价函数中同时具有两种测距链路时，这一性质仍然不变。

设协同场景中有M个用户节点，记Fc的Hessian矩阵为J ，易知J∈R2M×2M 。对J进 行分解，并且令J=∑i=1LQi。其中，Qi 为每一个测距链路对应的Hessian矩阵。

引理4［11］：相似矩阵具有相同的特征值。

若测距链路位于锚节点与待定位节点之间，则Qi的元素位于对角线和与之相邻的位置上，且元素的个数为4，将 Qi 中的4个元素全部平移至左上角。设变换后的矩阵为Qi′，易知 Qi 与 Q i′ 为相似矩阵。由引理4可知Qi 与Qi′具有相同的特征值。设Gi′=λI-Qi′，为了求取G ′的特征值，对G ′作如下分块：

式中：中第k行l列元素。

由分块矩阵行列式定理可知［11］：

令|Gi′|=0，由非协同场景分析可知，|G11|=0的2个解分别为λ=1和λ=di-ρidi，|Gi′| 0的剩余（2M-2）个解均为 0。因此，当di -ρi≥0时，Qi≽0。

若测距链路位于两个待定位节点之间，易知Qi 中的元素个数为16个，将其中各个元素全部平移至左上角，将其记为Qi′，设Gi′=λI-Qi′。同样地，对Gi′进行分块：

式中：

gkl为Gi′中第k行l列元素。

由分块矩阵行列式定理可知：

令|Gi |=0。由协同链路分析可知，|G11|的特征值有4个，分别为λ1=λ2=0，λ3=4以及 λ4=4di-ρidi，|Gk′|=0 剩余（2M-4）个解均为0。因此，当di-ρi≥0时，Qi≽0。

命题1指出，在满足di-ρi≥0这一条件时，总可以找到合适的区间，在区间中LS代价函F为凸。

命题2：对于∀i ， 若di-ρi≥0在x̂=［x1，x2，⋯， xM ］T∈R2M上恒成立，则F在R2M上为凸函数。

命题2是LS代价函数全局为凸的一个充分不必要条件。在实际场景中，当测距偏差大于 0时，距离观测值ρi为正，在此情况下不满足全局为凸的条件，若εi≤-di，则ρi≤0，此时di-ρi≥0恒成立，Fs在全局范围内为凸。

3 仿真验证

3.1 仿真场景设定

在二维平面内建立笛卡尔坐标系，表1给出了非协同与协同场景各个锚节点的平面坐标。本节将对三种偏差环境进行仿真，分别为NLOS环境、LOS环境以及测距偏差为负的情形。每一个场景在各种情况下的偏差大小如表2和表3所示。

3.2 凸性验证

首先对Fs作全局仿真。考虑测距误差不同的情况下代价函数Fs的凸性，作出其函数图像、Hessian矩阵J的正定图像以及选取不同初值的迭代情况，仿真结果如图1~图3所示。

图1分别显示了NLOS环境、LOS环境以及测距偏差为负的环境下LS代价函数图像。

图2分别显示了二维平面中各个点Hessian矩阵J的半正定情况，其中红色部分表示J≽0，蓝色部分表示J≼0，绿色部分表示不定。

由定理1可知，当J为半正定时，函数为凸。从图2a）中可以看出，当定位环境为 NLOS 环境时，J的半正定区域不连续，不定与半负定面积总和较大，当定位环境为LOS环境时，J的半正定区域连续，不定与半负定面积总和较小。由命题2可知，当存在正的测距误差时，则代价函数 Fs 在全局范围内为非凸，因此在上述的两个定位环境中，Fs 在全局范围内均为非凸，如图1a）和图1b）所示。当测距误差为负且绝对值较大时，满足命题2中代价函数 Fs 为凸的全局条件，如图1c）和图2c）所示，由J 的半正定性和Fs函数图像可以看出，J在全局范围内半正定且 Fs在全局范围内为凸函数。

为了说明初值选取对迭代结果的影响，从各个方向选取不同的初值，用高斯⁃牛顿迭代法进行位置解算。解算结果如图3所示，其中虚线构成的圆表示测距半径为负，其大小为距离观测值的绝对值。从仿真结果可知，在NLOS环境中，LS代价函数Fs为非凸函数，存在多个极值点，当初始值不同时迭代算法会收敛到不同的极小值点；在LOS环境中测距偏差较小，LS代价函数在全局范围内为非凸，但其极值点个数并没有增加，在这种情况下迭代算法会收敛于同一个位置，说明LS模型在LOS场景中适用；在偏差为负的场景中，迭代结果与初始位置无关，验证了在此情况下Fs具有全局收敛的特性。

在协同场景中，选取不同的初值，利用高斯⁃牛顿迭代算法解算用户位置，仿真结果分别如图4所示。在NLOS定位环境中，由于存在较大的正测距误差，使得Fc在全局范围内非凸并且导致产生了多个极值点，因此不同的初始值会导致算法迭代收敛到不同的极值点上；在LOS定位环境中，Fc在全局范围内为非凸，但正测距偏差较小，因此仍然可以收敛到相同的极值点上；在测距偏差为负的情况下，Fc在全局范围内为凸，因此无论初值如何选取，其必然会收敛到全局最优解。此结果较好地验证了命题2的正确性。

4 结 语

本文对协同定位无约束LS定位模型进行了凸性分析。通过对代价函数的 Hessian矩阵的分析，得出了无约束LS代价函数的一个充分不必要条件，该条件指出，当测距偏差全部为负时，无约束LS定位代价函数全局为凸。在此基础上，分别对NLOS环境、LOS环境以及测距偏差为负环境下的LS代价函数凸性进行了仿真分析，验证了该命题的正确性。除此以外，本文提出影响最小二乘代价函数非凸性的主要因素为正测距偏差，为后续研究奠定了理论基础。

审核编辑 ：李倩