Q格式的表示方式以及相应的运算

用过DSP的应该都知道Q格式吧；

• 1 前言

• 2 Q数据的表示

  • 2.1 范围和精度

  • 2.2 推导

• 3 Q数据的运算

  • 3.1 0x7FFF

  • 3.2 0x8000

  • 3.3 加法

  • 3.4 减法

  • 3.5 乘法

  • 3.6 除法

• 4 常见Q格式的数据范围

• 5 0x5f3759df

• 6 总结

1 前言

Q格式是二进制的定点数格式，相对于浮点数，Q格式指定了相应的小数位数和整数位数，在没有浮点运算的平台上，可以更快地对浮点数据进行处理，以及应用在需要恒定分辨率的程序中（浮点数的精度是会变化的）；
需要注意的是Q格式是概念上小数定点，通过选择常规的二进制数整数位数和小数位数，从而达到所需要的数值范围和精度，这里可能有点抽象，下面继续看介绍。

2 Q数据的表示

2.1 范围和精度

定点数通常表示为，其中m为整数个数，n为小数个数，其中最高位位符号位并且以二进制补码的形式存储；

• 范围：
• 精度：

无符号的用表示；

• 范围：
• 精度：

2.2 推导

无符号Q格式数据的推导这里以一个16位无符号整数为例，所能表示的最大数据的二进制形式如下图所示；

所以不难看出，的范围大小和精度；根据等比数列求和公式得到，整数域最大值如下：

小数域最大值如下：

因此的范围满足 ；

有符号Q格式数据的推导这里以一个16位有符号整数为例，所能表示的最大数据的二进制形式如下图所示；

所以不难求出，的范围大小和精度；根据等比数列求和公式得到，整数域最大值如下：

小数域最大值如下：

因此最大能表示的数为：；

所能表示的最小数据的二进制形式如下图所示；

可以从图中看到，该数表示为；

补充一下：负数在计算机中是补码的形式存在的，补码=反码+1，符号位为1则表示为负数；
那么-4该如何表示呢？
以8 bit数据为例，如下所示；
原码：0B 0000 100
反码：0B 1111 011
补码：0B 1111 100

综上，可以得到有符号的范围是：

3 Q数据的运算

3.1 0x7FFF

最大数的十六进制为0x7FFF，如下图所示；

3.2 0x8000

最小数的十六进制为0X8000，如下图所示；

上述这两种情况，下面都会用到。

3.3 加法

加法和减法需要两个Q格式的数据定标相同，即和满足以下条件；

int16_tq_add(int16_ta,int16_tb)
{
returna+b;
}

上面的程序其实并不安全，在一般的DSP芯片具有防止溢出的指令，但是通常需要做一下溢出检测，具体如下所示；

//https://great.blog.csdn.net/
int16_tq_add_sat(int16_ta,int16_tb)
{
int16_tresult;
int32_ttmp;

tmp=(int32_t)a+(int32_t)b;
if(tmp>0x7FFF)
tmp=0x7FFF;
if(tmp< -1*0x8000)
tmp=-1*0x8000;
result=(int16_t)tmp;

returnresult;
}

3.4 减法

类似于加法的操作，需要相同定标的两个Q格式数进行相减，但是不会存在溢出的情况；

//https://great.blog.csdn.net/
int16_tq_sub(int16_ta,int16_tb)
{
returna-b;
}

3.5 乘法

乘法同样需要考虑溢出的问题，这里通过sat16函数，对溢出做了处理；

//https://great.blog.csdn.net/
//precomputedvalue:
#defineK(1<< (Q - 1))

//saturatetorangeofint16_t
int16_tsat16(int32_tx)
{
if(x>0x7FFF)return0x7FFF;
elseif(x< -0x8000)return-0x8000;
elsereturn(int16_t)x;
}

int16_tq_mul(int16_ta,int16_tb)
{
int16_tresult;
int32_ttemp;

temp=(int32_t)a*(int32_t)b;//resulttypeisoperand'stype
//Rounding;midvaluesareroundedup
temp+=K;
//Correctbydividingbybaseandsaturateresult
result=sat16(temp>>Q);

returnresult;
}

3.6 除法

//https://great.blog.csdn.net/
int16_tq_div(int16_ta,int16_tb)
{
/*pre-multiplybythebase(UpscaletoQ16sothattheresultwillbeinQ8format)*/
int32_ttemp=(int32_t)a<< Q;
    /*Rounding:midvaluesareroundedup(downfornegativevalues).*/
/*ORcomparemostsignificantbitsi.e.if(((temp>>31)&1)==((b>>15)&1))*/
if((temp>=0&&b>=0)||(temp< 0&&b< 0)){
temp+=b/2;/*ORshift1biti.e.temp+=(b>>1);*/
}else{
temp-=b/2;/*ORshift1biti.e.temp-=(b>>1);*/
}
return(int16_t)(temp/b);
}

4 常见Q格式的数据范围

定点数和浮点数转换的关系满足以下公式：

其中为，m表示整数位数，n表示小数位数；

#include
#include
#include


intmain()
{
//0111111111111111
int16_tq_max=32767;//0x7FFF
//1000000000000000
int16_tq_min=-32768;//0x8000
floatf_max=0;
floatf_min=0;
printf("
");
for(int8_ti=15;i>=0;i--){
f_max=(float)q_max/pow(2,i);
f_min=(float)q_min/pow(2,i);

printf("	|Q%d|Q%d.%d|%f|%f|
",
i,(15-i),i,f_max,f_min);
}

return0;
}

运行得到结果如下所示；

Q	Qmn	Max	Min
Q 15	Q 0.15	0.999969	-1.000000
Q 14	Q 1.14	1.999939	-2.000000
Q 13	Q 2.13	3.999878	-4.000000
Q 12	Q 3.12	7.999756	-8.000000
Q 11	Q 4.11	15.999512	-16.000000
Q 10	Q 5.10	31.999023	-32.000000
Q 9	Q 6.9	63.998047	-64.000000
Q 8	Q 7.8	127.996094	-128.000000
Q 7	Q 8.7	255.992188	-256.000000
Q 6	Q 9.6	511.984375	-512.000000
Q 5	Q 10.5	1023.968750	-1024.000000
Q 4	Q 11.4	2047.937500	-2048.000000
Q 3	Q 12.3	4095.875000	-4096.000000
Q 2	Q 13.2	8191.750000	-8192.000000
Q 1	Q 14.1	16383.500000	-16384.000000
Q 0	Q 15.0	32767.000000	-32768.000000

5 0x5f3759df

Q格式虽然十分抽象，但是且看看这个数字0x5f3759df，感觉和Q格式有某种联系，它是雷神之锤3中的一个算法的魔数，毕竟游戏引擎需要充分考虑到效率，具体的由来可以看一下论文《Fast Inverse Square Root》，下面是源码中剥出来的快速平方根算法；

floatQ_rsqrt(floatnumber)
{
longi;
floatx2,y;
constfloatthreehalfs=1.5F;

x2=number*0.5F;
y=number;
i=*(long*)&y;//evilfloatingpointbitlevelhacking
i=0x5f3759df-(i>>1);//whatthefuck?
y=*(float*)&i;
y=y*(threehalfs-(x2*y*y));//1stiteration
//y=y*(threehalfs-(x2*y*y));//2nditeration,thiscanberemoved

#ifndefQ3_VM
#ifdef__linux__
assert(!isnan(y));//bk010122-FPE?
#endif
#endif
returny;
}

6 总结

本文介绍了Q格式的表示方式以及相应的运算，另外需要注意在Q格式运算的时候，两者定标必须相同，对于数据的溢出检测也要做相应的处理。

审核编辑：汤梓红