通过测量过冲情况得到系统的相位裕量

负反馈因其可以稳定增益、减小失真、扩展带宽、变换阻抗等功能而在电子、控制等诸多领域发挥着重大作用。小至一颗电源芯片，大至一辆汽车，都在负反馈技术的帮助下使我们的生活变得更丰富。然而，负反馈的使用也是有代价的，即可能会导致系统不稳定。

为了了解系统的稳定性情况，最直接、精确的方式就是测量系统的相位裕量(Phase Margin/ PM)，我们通常会使用环路分析仪进行测试。

小编今天向大家介绍另一种方法，即通过测量过冲情况（OS）得到系统的相位裕量。

电路的二阶系统化

一些常见的反馈电路，通常都是二阶系统，我们以运放容性带载为例来讨论：

*运放的容性负载 *典型通用运放的开环增益曲线

一个典型通用运放的开环增益曲线如上图所示。它一般拥有一个低频的主极点，如100Hz，高频极点通常会被设计为远高于穿越频率，所以常规的运放电路是稳定的。

当运放存在容性负载的时候，开环输出电抗(Zo)与输出电容(Co)形成的极点会处在反馈环路内，当极点频率靠近或小于穿越频率，则会使得系统的相位裕度明显降低，导致不稳定的情况发生。

所以，一个运放带容性负载的放大电路，其传递函数可以表示为：

其中，K为运放的DC开环增益，β是反馈系数(作为跟随器时，β=1，100倍放大时，β=0.01)。

1/τa是运放的低频主极点的角频率，1/τb是Zo和Co产生寄生极点的角频率。可见，τa>>τb。

上式可被转换为标准的二阶系统

由于K为运放的DC开环增益，所以Kβ>>1

其中，ωn为电路的自然频率，ξ为阻尼系数，且

时域过冲与阻尼系数的关系

我们知道，系统处于欠阻尼状态，即0<ξ<1，才会存在过冲的情况。

对一个标准的二阶系统来说，

可以求得其单位阶跃响应函数为：

当

求得阶跃响应第一个峰值对应的时间为：

所以过冲为

因此我们可以绘制如下过冲与阻尼系数的曲线

*过冲与阻尼系数的关系

过冲可以经由在输入端给予一个小的阶跃信号，并测量输出端得到。如下图是在ξ=0.35的系统中在1ms时使用100mV阶跃输入所测得的过冲情况，过冲为31%。

相位裕量与阻尼系数的关系

我们接下去分析阻尼系数与相位裕量(Phase Margin)的关系

系统的环路增益为：

为了求得系统穿越频率ωc，可令|A(s)β|=1

求得

所以相位裕度

具此我们可以绘制如下相位裕量与阻尼系数的曲线

*相位裕量与阻尼系数的关系

相位裕量与过冲的关系

由此，我们借由阻尼系数，得到相位裕量与过冲的关系，绘制曲线如下

*相位裕量与过冲的关系

由上图可知，当相位裕量大于70˚以上时已经几乎没有过冲

相位裕量60˚ 时， OS(60˚)≈8.8%

相位裕量45˚ 时， OS(45˚) ≈23.4%

我们的讨论是基于二阶系统的，所以如果实际的电路并非二阶系统，那么相位裕量与过冲的关系将并不严格遵循上述推论。但幸运的是，现实中的大部分电路都近似于二阶系统，所以通过观察过冲情况（OS）来判断系统稳定性的方法，对于有时候的系统调试（特别是，对于差分放大器或者SOC等并没有提供反馈引脚而无法采用环路分析仪的场合），或者定性分析，都是大有裨益的。

审核编辑：汤梓红