使用三种稳健线性回归模型处理异常值

线性回归是最简单的机器学习模型之一。它通常不仅是学习数据科学的起点，也是构建快速简单的最小可行产品（ MVP ）的起点，然后作为更复杂算法的基准。

一般来说，线性回归拟合最能描述特征和目标值之间线性关系的直线（二维）或超平面（三维及三维以上）。该算法还假设特征的概率分布表现良好；例如，它们遵循高斯分布。

异常值是位于预期分布之外的值。它们导致特征的分布表现较差。因此，模型可能会向异常值倾斜，正如我已经建立的那样，这些异常值远离观测的中心质量。自然，这会导致线性回归发现更差和更有偏差的拟合，预测性能较差。

重要的是要记住，异常值可以在特征和目标变量中找到，所有场景都可能恶化模型的性能。

有许多可能的方法来处理异常值：从观察值中删除异常值，处理异常值（例如，将极端观察值限制在合理值），或使用非常适合自己处理此类值的算法。本文重点介绍了这些稳健的方法。

安装程序

我使用相当标准的库：numpy、pandas、scikit-learn。我在这里使用的所有模型都是从scikit-learn的linear_model模块导入的。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import (LinearRegression, HuberRegressor, RANSACRegressor, TheilSenRegressor)

数据

鉴于目标是展示不同的鲁棒算法如何处理异常值，第一步是创建定制的数据集，以清楚地显示行为中的差异。为此，请使用scikit-learn中提供的功能。

首先创建一个包含 500 个观察值的数据集，其中包含一个信息性特征。只有一个特征和目标，绘制数据以及模型的拟合。此外，指定噪声（应用于输出的标准差），并创建包含基础线性模型系数的列表；也就是说，如果线性回归模型适合生成的数据，系数会是多少。在本例中，系数的值为 64.6 。提取所有模型的系数，并使用它们来比较它们与数据的拟合程度。

接下来，用异常值替换前 25 个观察值（占观察值的 5% ），远远超出生成的观察值的质量。请记住，先前存储的系数来自没有异常值的数据。包括他们会有所不同。

N_SAMPLES = 500
N_OUTLIERS = 25 X, y, coef = datasets.make_regression( n_samples=N_SAMPLES, n_features=1, n_informative=1, noise=20, coef=True, random_state=42
)
coef_list = [["original_coef", float(coef)]] # add outliers np.random.seed(42)
X[:N_OUTLIERS] = 10 + 0.75 * np.random.normal(size=(N_OUTLIERS, 1))
y[:N_OUTLIERS] = -15 + 20 * np.random.normal(size=N_OUTLIERS) plt.scatter(X, y);

图 1 。生成的数据和手动添加的异常值

线性回归

从良好的旧线性回归模型开始，该模型可能受到异常值的高度影响。使用以下示例将模型与数据拟合：

lr = LinearRegression().fit(X, y)
coef_list.append(["linear_regression", lr.coef_[0]])

然后准备一个用于绘制模型拟合的对象。plotline_X对象是一个 2D 数组，包含在生成的数据集指定的间隔内均匀分布的值。使用此对象获取模型的拟合值。它必须是 2D 数组，因为它是scikit-learn中模型的预期输入。然后创建一个fit_df数据框，在其中存储拟合值，通过将模型拟合到均匀分布的值来创建。

plotline_X = np.arange(X.min(), X.max()).reshape(-1, 1) fit_df = pd.DataFrame( index = plotline_X.flatten(), data={"linear_regression": lr.predict(plotline_X)}
)

准备好数据框架后，绘制线性回归模型与具有异常值的数据的拟合图。

fix, ax = plt.subplots()
fit_df.plot(ax=ax)
plt.scatter(X, y, c="k")
plt.title("Linear regression on data with outliers");

图 2 显示了异常值对线性回归模型的显著影响。

图 2 :线性回归模型对含有异常值的数据的拟合

使用线性回归获得了基准模型。现在是时候转向稳健回归算法了。

Huber Regression

Huber regression 是稳健回归算法的一个示例，该算法为被识别为异常值的观察值分配较少的权重。为此，它在优化例程中使用 Huber 损耗。下面让我们更好地了解一下这个模型中实际发生了什么。

Huber 回归最小化以下损失函数：

其中，表示标准差，表示特征集，是回归的目标变量，是估计系数的向量，是正则化参数。该公式还表明，根据 Huber 损失，对异常值的处理与常规观测不同：

Huber 损失通过考虑残差来识别异常值，用z表示。如果观察被认为是规则的（因为残差的绝对值小于某个阈值），然后应用平方损失函数。否则，将观察值视为异常值，并应用绝对损失。话虽如此，胡伯损失基本上是平方损失函数和绝对损失函数的组合。

好奇的读者可能会注意到，第一个方程类似于 Ridge regression ，即包括 L2 正则化。 Huber 回归和岭回归的区别在于异常值的处理。

通过分析两种常用回归评估指标：均方误差（ MSE ）和平均绝对误差（ MAE ）之间的差异，您可能会认识到这种损失函数的方法。与 Huber 损失的含义类似，我建议在处理异常值时使用 MAE ，因为它不会像平方损失那样严重地惩罚这些观察值。

与前一点相关的是，优化平方损失会导致均值周围的无偏估计，而绝对差会导致中值周围的无偏估计。中位数对异常值的鲁棒性要比平均值强得多，因此预计这将提供一个偏差较小的估计。

使用默认值 1.35 ，这决定了回归对异常值的敏感性。 Huber （ 2004 ）表明，当误差服从正态分布且= 1 和= 1.35 时，相对于 OLS 回归，效率达到 95% 。

对于您自己的用例，我建议使用网格搜索等方法调整超参数alpha和epsilon。

使用以下示例将 Huber 回归拟合到数据：

huber = HuberRegressor().fit(X, y)
fit_df["huber_regression"] = huber.predict(plotline_X)
coef_list.append(["huber_regression", huber.coef_[0]])

图 3 显示了拟合模型的最佳拟合线。

图 3 。 Huber 回归模型对含异常值数据的拟合

RANSAC 回归

随机样本一致性（ RANSAC ）回归 是一种非确定性算法，试图将训练数据分为内联（可能受到噪声影响）和异常值。然后，它仅使用内联线估计最终模型。

RANSAC 是一种迭代算法，其中迭代包括以下步骤：

从初始数据集中选择一个随机子集。

将模型拟合到选定的随机子集。默认情况下，该模型是线性回归模型；但是，您可以将其更改为其他回归模型。

使用估计模型计算初始数据集中所有数据点的残差。绝对残差小于或等于所选阈值的所有观察值都被视为内联，并创建所谓的共识集。默认情况下，阈值定义为目标值的中值绝对偏差（ MAD ）。

如果足够多的点被分类为共识集的一部分，则拟合模型保存为最佳模型。如果当前估计模型与当前最佳模型具有相同的内联数，则只有当其得分更好时，才认为它更好。

迭代执行步骤的次数最多，或者直到满足特殊停止标准。可以使用三个专用超参数设置这些标准。如前所述，最终模型是使用所有内部样本估计的。

将 RANSAC 回归模型与数据拟合。

ransac = RANSACRegressor(random_state=42).fit(X, y)
fit_df["ransac_regression"] = ransac.predict(plotline_X)
ransac_coef = ransac.estimator_.coef_
coef_list.append(["ransac_regression", ransac.estimator_.coef_[0]])

如您所见，恢复系数的过程有点复杂，因为首先需要使用estimator_访问模型的最终估计器（使用所有已识别的内联线训练的估计器）。由于它是一个LinearRegression对象，请像前面一样继续恢复系数。然后，绘制 RANSAC 回归拟合图（图 4 ）。

图 4 。 RANSAC 回归模型对含有异常值的数据的拟合

使用 RANSAC 回归，您还可以检查模型认为是内联值和离群值的观察值。首先，检查模型总共识别了多少异常值，然后检查手动引入的异常值中有多少与模型的决策重叠。训练数据的前 25 个观察值都是引入的异常值。

inlier_mask = ransac.inlier_mask_
outlier_mask = ~inlier_mask
print(f"Total outliers: {sum(outlier_mask)}")
print(f"Outliers you added yourself: {sum(outlier_mask[:N_OUTLIERS])} / {N_OUTLIERS}")

运行该示例将打印以下摘要：

Total outliers: 51
Outliers you added yourself: 25 / 25

大约 10% 的数据被确定为异常值，所有引入的观察结果都被正确归类为异常值。然后可以快速将内联线与异常值进行比较，以查看标记为异常值的其余 26 个观察值。

plt.scatter(X[inlier_mask], y[inlier_mask], color="blue", label="Inliers")
plt.scatter(X[outlier_mask], y[outlier_mask], color="red", label="Outliers")
plt.title("RANSAC - outliers vs inliers");

图 5 显示，距离原始数据的假设最佳拟合线最远的观测值被视为异常值。

图 5 。与 RANSAC 算法识别的异常值进行比较的内联线

泰尔森回归

scikit-learn中可用的最后一种稳健回归算法是 Theil-Sen regression 。这是一种非参数回归方法，这意味着它不假设基础数据分布。简而言之，它涉及在训练数据子集上拟合多元回归模型，然后在最后一步聚合系数。

下面是算法的工作原理。首先，它计算从训练集 X 中的所有观察值创建的大小为 p （超参数n_subsamples）的子集上的最小二乘解（斜率和截距）。如果计算截距（可选），则必须满足以下条件p 》= n_features + 1。直线的最终斜率（可能还有截距）定义为所有最小二乘解的（空间）中值。

该算法的一个可能缺点是计算复杂度，因为它可以考虑等于n_samples choose n_subsamples的最小二乘解总数，其中n_samples是 X 中的观测数。鉴于这一数字可能迅速扩大，可以做几件事：

在样本数量和特征方面，只对小问题使用该算法。然而，由于明显的原因，这可能并不总是可行的。

调整n_subsamples超参数。值越低，对异常值的鲁棒性越高，但效率越低，而值越高，鲁棒性越低，效率越高。

使用max_subpopulation超参数。如果n_samples choose n_subsamples的总值大于max_subpopulation，则该算法仅考虑给定最大大小的随机子种群。自然，仅使用所有可能组合的随机子集会导致算法失去一些数学特性。

此外，请注意，估计器的稳健性随着问题的维数迅速降低。要了解这在实践中的效果，请使用以下示例估计泰尔森回归：

theilsen = TheilSenRegressor(random_state=42).fit(X, y)
fit_df["theilsen_regression"] = theilsen.predict(plotline_X)
coef_list.append(["theilsen_regression", theilsen.coef_[0]])

图 6 。泰尔森回归模型对含有异常值的数据的拟合

模型比较

到目前为止，已经对包含异常值的数据拟合了三种稳健回归算法，并确定了各个最佳拟合线。现在是进行比较的时候了。

从图 7 的目视检查开始。为了显示太多行，未打印原始数据的拟合行。然而，考虑到大多数数据点的方向，很容易想象它是什么样子。显然， RANSAC 和泰尔森回归得到了最准确的最佳拟合线。

图 7 。所有考虑的回归模型的比较

更准确地说，请查看估计系数。表 1 显示， RANSAC 回归结果最接近原始数据之一。有趣的是， 5% 的异常值对正则线性回归拟合的影响有多大。

你可能会问哪种稳健回归算法最好？通常情况下，答案是“视情况而定”以下是一些指导原则，可以帮助您找到适合您具体问题的正确模型：

一般来说，在高维环境中进行稳健拟合是困难的。

与泰尔·森和兰萨克不同的是，休伯回归并没有试图完全过滤掉异常值。相反，它会减少它们对贴合度的影响。

Huber 回归应该比 RANSAC 和 Theil-Sen 更快，因为后者适用于较小的数据子集。

泰尔森和 RANSAC 不太可能像 使用默认超参数的 Huber 回归。

RANSAC 比泰尔森更快，并且随着样本数的增加，其扩展性更好。

RANSAC 应该更好地处理 y 方向上的大异常值，这是最常见的场景。

考虑到前面的所有信息，您还可以根据经验对所有三种稳健回归算法进行实验，看看哪一种最适合您的数据。

关于作者

Eryk Lewinson 是一位数据科学家，有定量金融方面的背景。在他的职业生涯中，他曾为两家咨询公司工作，一家金融科技公司，最近为荷兰最大的在线零售商工作。在他的工作中，他使用机器学习为公司生成可操作的见解。

审核编辑：郭婷