传递函数的三种形式及应用场合

传递函数表示线性定常系统自身，将输入信号变换成输出信号的能力。这是线性定常系统自身的特点，一个不同的输入就会有一个不同的输出。输入信号本身不影响传递函数，传递函数是我这个系统自身决定的。

获得传递函数的方法多种多样，可以直接使用微分方程进行变换，也可以使用复阻抗法求取。但重要的是变换传递函数的能力，针对不同应用场合，变换传递函数的形式。阅读传递函数的能力，比如通过传递函数能否看出系统极点和零点的位置，以及增益。

根据线性网络理论，由电容、电阻和电感组成的电路网络，其传递函数H可以用如下通用式表示：

在这个式子中，很重要的一点是分母的阶数m必须大于或等于分子的阶数n。当m>n时，H(s)的幅值会随着s趋于无穷而趋于0，满足该性质的传递函数为”严格正则”。分母多项式D(s)阶数反映了该电路网络的阶数。让分母多项式D(s)=0，解出的所有根称为系统的极点，让分子多项式N(s)等于0，解出的所有根为系统的零点。

传递函数是一个分式，分子和分母都是多项式。基于应用场合的不同，它有三种常见的变换形式：

第1种传递函数写法：在因式分解的时候，使s的最高项系数为1时。这种形式一眼就可以看出它的零点和极点。这个形式是传递函数根轨迹形式，也称为首1型传递函数形式。这个时候提出来的常数，叫作根轨迹增益。应用在根轨迹的场合。

第2种传递函数写法：在作因式分解的时候，常数项全部提出来，常数项变为1，通俗的说我们叫尾1型传递函数形式。这个时候提出来的系数我们叫作环路增益或者叫开环增益。应用在bode图绘制，奈氏图绘制，系统开环频率响应分析的场合。

这两个系数有什么关系，b0和bm有什么关系，b0=bm*z1*....zm。从数学角度看，就是提取公因式的事情，提的大和提的小的问题。提的小是前面的系数，提的大是后面的系数。

第3种传递函数写法：当传递函数带有积分环节，可以写成这种形式。这种形式应用在环路补偿的场合。

wp0是什么呢？

引入一个概念，称为“0dB穿越极点”。对于包含原点极点的传递函数，也就是当s=0时，传递函数的幅值趋于无穷大。通常原点极点的s会带有一个系数，例如1/[sRC(1+...)]，可以将其重写为如下形式：

式中，wp0就是“0dB穿越极点”，它在上式中等于1/RC，对应截止频率，也就是说s=wp0时，wp0/s的幅值等于1(或0dB)。

下图种画出了wp0/s的幅值与频率的关系，是一条斜率为负的斜线。

当原点极点与一个零点组合在一起时，斜线会在零点频率处转折并维持在增益G0，G0称为中频增益。下图显示了不同wp0的幅值-频率关系。

审核编辑：汤梓红