0
  • 聊天消息
  • 系统消息
  • 评论与回复
登录后你可以
  • 下载海量资料
  • 学习在线课程
  • 观看技术视频
  • 写文章/发帖/加入社区
会员中心
创作中心

完善资料让更多小伙伴认识你,还能领取20积分哦,立即完善>

3天内不再提示

傅里叶变换对于通信的重要性

射频学堂 来源:射频学堂 作者:射频学堂 2022-11-28 15:44 次阅读

对于一个离开课堂十余年的射频工程师来说,傅里叶变换已经不知道埋藏在脑子里的那个角落,或者根本就没在脑子里停留过。但无论如何,傅里叶变换对现在通信的重要性还是不言而语。当我们已经习惯用频域去描述一个信号的时候,你可曾思考过其真实的样子到底是什么?为什么这几个短短的频谱就可以描述一个信号?

所以呢,我们首先得感谢傅里叶,正是傅里叶大神的天才发明,带给我们一个全新的看待问题的角度,让我们跳出时域这个圈子,站在频域的角度去看待问题。这样做又有什么好处呢?且看下文。

其实傅里叶大神在最初提出这个思想的时候,并没有想着去解决信号的问题,而是要来描述温度的变化曲线,其实当时麦克斯韦也还没有出生。傅里叶大神在1830年去世的时候,麦克斯韦还是是个躲在妈妈肚子里的小贝比呢。发明电话的那个亚历山大贝尔还要再过十几年才出生。所以,无心插柳柳成荫吧。其实傅里叶变换除了在通信上有很重要的应用,在很多领域都有着不可替代的重要性。其作为一个数学工具,已经遍布现代科技的各个角落。傅里叶大神当时在法国科学学会上发表了一篇论文,这篇论文用正弦波来描述温度变化曲线。如果只简单描述温度曲线的话也就罢啦,他出人意料的提出了一个在当时具有相当大的争议性的论断:任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。就像我们做选择题一样,太武断的答案一定是错的,所以当时人们也特别质疑过这个论断,最著名的当属两个最著名的数学家拉格朗日和拉普拉斯。当时他们哥俩是傅里叶这篇论文的审稿人。所以说当时真是个神仙打架的时代。刚好在傅里叶大神的这篇论文审查时,拉格朗日和拉普拉斯两位拉氏牛人就干起来了。拉普拉斯同意傅里叶的观点,并同意发表这篇论文,而拉格朗日则坚决反对,因为拉格朗日坚决认为,傅里叶的方法无法表示带棱角的信号。大家被高等数学里面拉格朗日的各种数学分析方法折磨,就知道,这个牛人我们惹不起,当时更没人去挑战拉格朗日的权威。因此这个论文就迟迟没有发表。

不用说,现在傅里叶的论断确实是正确的,为什么呢?因为老师说了,我们学了。那到底是不是这个回事呢?

我们先来看一下矩形信号能不能用一组适当的正弦曲线来组合而成?看下图所示,一个正弦曲线时,和矩形差远了。但是当叠加的正弦信号越来越多的时候,这个组合而来的图形就越来越方了。当有无穷多个正弦曲线组合到一起的时候,这个组合图就是矩形了。奇怪的是拉格朗日发明了无穷级数,怎么能没想到这点呢?可能是屁股决定了脑袋。

a4a64e9e-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.png

a4b827b8-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.png

a4cc1156-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.png

a4e8a294-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.png

a5062364-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.gif

当然,人们对傅里叶的论断又做了补充和扩展。傅里叶变换就是:

f(t)是t的周期函数,如果t满足狄里赫莱条件:在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点,附f(x)单调或可划分成有限个单调区间,则F(x)以2T为周期的傅里叶级数收敛,和函数S(x)也是以2T为周期的周期函数,且在这些间断点上,函数是有限值;在一个周期内具有有限个极值点;绝对可积。

a522b2cc-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

我们先把上面这个公式抛在脑后,接着讲一下为什么是正弦曲线Sin(x)/余弦曲线?因为它简单啊。它就是一个棍在转圈圈。当一个点在绕着一个圆心做圆周运动时,其随时间变化的曲线就是正弦曲线/余弦曲线。

a548987a-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.gif

当我们把一组沿着不同圆周,不同圆心转圈圈的点都拉到时间轴上来的时候,其就会变得越来越方。

a56ee746-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.gif

那跟频域有什么关系呢?

好像有没啥关系,这就是傅里叶级数吧。

a5985f22-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.png

没错,就是傅里叶级数,但是把傅里叶级数的求和表示成积分形式就是傅里叶变换。

a5ba61a8-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.png

可能这里大家有点疑惑,上面傅里叶级数用的是三角函数Sin和Cos,但是下面的傅里叶变换却换成了e的指数。原因有两个,一是,太懒了,不想再编辑公式,第二个是感谢欧拉!欧拉统一了e的指数和正余弦函数:

a5d63220-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.png

我们继续研究上文的那个矩形曲线。我们把组成矩形曲线的这些正弦曲线铺开放平,就可以观察到它的频域方向。从频域方向看过去,就是一个个一定幅度的固定在某一频率上的线。从频域方向看过去,所有都静止了,没有时间了。也就是说,我们通过傅里叶变化,把信号从时域空间搬到了频域空间。

a5edadb0-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.jpg

就像我们之前讨论电磁波的三要素一样,这个频域信号也具有同样的三要素:幅度,频率和相位。幅度就是信号的强弱,或者是傅里叶级数里面的an,频率就是里面的a608ae80-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.png,相位就是信号的初始位置。

至此,我们就把信号从时域空间搬运到了频域空间,而且两个空间所描述的信号是一模一样的,就像一个人有两个名字一样,刘备和刘玄德都是指的同样一个人。频域里的信号和时域里的信号一样。所以,有时候分析一个信号,我们可以用频谱分析仪去看它的频谱,也可以用示波器去看它的波形一样。

a61539e8-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.gif

那么只要是满足狄里赫莱条件的信号,都可以用傅里叶变换把其从时域变换到频域。因为它都可以分解成一系列合适的正弦曲线的组合。

a63ab056-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.png

比如像FM调制的信号,其时域波形和频谱如下图所示。

a6511670-6ded-11ed-8abf-dac502259ad0.png

审核编辑:郭婷

声明:本文内容及配图由入驻作者撰写或者入驻合作网站授权转载。文章观点仅代表作者本人,不代表电子发烧友网立场。文章及其配图仅供工程师学习之用,如有内容侵权或者其他违规问题,请联系本站处理。 举报投诉
  • 射频
    +关注

    关注

    104

    文章

    5551

    浏览量

    167555
  • 傅里叶变换
    +关注

    关注

    6

    文章

    437

    浏览量

    42566

原文标题:奇妙的傅里叶变换

文章出处:【微信号:射频学堂,微信公众号:射频学堂】欢迎添加关注!文章转载请注明出处。

收藏 人收藏

    评论

    相关推荐

    傅里叶变换的基本性质和定理

    傅里叶变换是信号处理和分析中的一项基本工具,它能够将一个信号从时间域(或空间域)转换到频率域。以下是傅里叶变换的基本性质和定理: 一、基本性质 线性性质 : 傅里叶变换是线性的,即对于
    的头像 发表于 11-14 09:39 215次阅读

    经典傅里叶变换与快速傅里叶变换的区别

    经典傅里叶变换与快速傅里叶变换(FFT)在多个方面存在显著的区别,以下是对这两者的比较: 一、定义与基本原理 经典傅里叶变换 : 是一种将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数
    的头像 发表于 11-14 09:37 149次阅读

    如何实现离散傅里叶变换

    复杂度较高,为O(n^2)。具体步骤如下: 对于长度为N的离散信号x(n),其离散傅里叶变换X(k)定义为: X(k)=∑[n=0 to N-1] x(n)W_N^(kn),其中W_N=exp(-j2
    的头像 发表于 11-14 09:35 144次阅读

    傅里叶变换与卷积定理的关系

    傅里叶变换与卷积定理之间存在着密切的关系,这种关系在信号处理、图像处理等领域中具有重要的应用价值。 一、傅里叶变换与卷积的基本概念 傅里叶变换 : 是一种将时间域(或空间域)信号转换为
    的头像 发表于 11-14 09:33 171次阅读

    傅里叶变换与图像处理技术的区别

    )转换到频域的数学工具。它基于傅里叶级数的概念,即任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦波和余弦波的叠加。对于非周期信号,傅里叶变换提供了一种将信号分解为不同频率成分的方法。 在图像处理中,傅里叶变换可以将图
    的头像 发表于 11-14 09:30 210次阅读

    傅里叶变换在信号处理中的应用

    在现代通信和信号处理领域,傅里叶变换(FT)扮演着核心角色。它不仅帮助我们分析信号的频率成分,还能用于滤波、压缩和信号恢复等多种任务。 傅里叶变换的基本原理 傅里叶变换是一种将信号从时
    的头像 发表于 11-14 09:29 306次阅读

    傅里叶变换的数学原理

    傅里叶变换的数学原理主要基于一种将函数分解为正弦和余弦函数(或复指数函数)的线性组合的思想。以下是对傅里叶变换数学原理的介绍: 一、基本原理 傅里叶级数 :对于周期连续信号,可以将其
    的头像 发表于 11-14 09:27 211次阅读

    求助,ADC接地的重要性

    ADC接地的重要性
    发表于 06-04 07:56

    傅里叶变换基本原理及在机器学习应用

    连续傅里叶变换(CFT)和离散傅里叶变换(DFT)是两个常见的变体。CFT用于连续信号,而DFT应用于离散信号,使其与数字数据和机器学习任务更加相关。
    发表于 03-20 11:15 862次阅读
    <b class='flag-5'>傅里叶变换</b>基本原理及在机器学习应用

    一文道破傅里叶变换的本质,优缺点一目了然

    ,不能判断,该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。例子:平稳信号: 傅里叶变换的结果: 由于信号是平稳信号,每处的频率都相等,所以看不到傅里叶变换的缺点。对于非平稳信号
    发表于 03-12 16:06

    傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系是什么

    傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要的数学工具,常用于信号分析和系统理论领域。虽然它们在数学定义和应用上有所差异,但它们之间存在紧密的联系和相互依存的关系。 首先,我们先介绍一下傅里叶变换
    的头像 发表于 02-18 15:45 1603次阅读

    傅里叶变换的应用 傅里叶变换的性质公式

    Fourier)于19世纪提出的。傅里叶变换在信号处理和物理学等领域有广泛的应用,可以用来分析和处理各种波动现象。 傅里叶变换的应用非常广泛,在信号处理领域几乎涵盖了所有的应用场景。其中一个重要的应用是信号滤波。通过
    的头像 发表于 02-02 10:36 1203次阅读

    什么是傅里叶变换和逆变换?为什么要用傅里叶变换?

    、工程、图像处理、信号处理等领域。 傅里叶变换的核心思想是,任何一个连续时间的周期信号可以表示为无穷多个不同频率正弦波(或复指数)的叠加。傅里叶变换将信号分解为不同频率的正弦波元素,从而揭示了信号的频域特征
    的头像 发表于 01-11 17:19 3648次阅读

    短时傅里叶变换STFT原理详解

    传统傅里叶变换的分析方法大家已经非常熟悉了,特别是快速傅里叶变换(FFT)的高效实现给数字信号处理技术的实时应用创造了条件,从而加速了数字信号处理技术的发展。
    的头像 发表于 01-07 09:46 2699次阅读
    短时<b class='flag-5'>傅里叶变换</b>STFT原理详解

    傅里叶变换的定义 傅里叶变换的意义

    傅里叶变换的定义 傅里叶变换的意义  傅里叶变换,表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。 在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同
    的头像 发表于 11-30 15:32 1952次阅读