什么是齿轮修形？

齿轮修形可以极大地提高传动精度，并增加齿轮强度。广义上的齿轮修形有许多类别（齿端修形、齿顶修形、齿根修形、变位、修改压力角），本文将分享答主在精密传动设计中，关于齿轮修形的心得。

（以下将『输出扭矩波动率小』作为『传动精度高』的唯一指标）

1. 齿『端』修形（齿向修形）

齿『端』修形是最常见（最容易加工）的修形方式，通常是为了帮助装配，和机械设计中多数倒角的作用是一样的，但其实对传动精度和齿轮强度都有影响（这部分内容很多，答主会写在之后的回答中）。

2. 齿『顶』修形（齿顶高系数）

齿『顶』修形是所有修形方式中，对传动精度影响（提高）最大的。 我们希望齿轮啮合线是这的形状：

红色是啮合线（理想的）

但其实是这样的：

红色是啮合线（实际的），啮合线只有一部分是“正确”的。

因为标准齿形中，齿顶被“削”去了一部分，所以渐开线是不完整的，导致主齿轮的齿顶和副齿轮的齿面（从截面上看）是先由点-线接触，再过渡到线-线接触：

上图的放大版

如果齿顶少“削”一点（齿顶高系数从 1 提高至 1.3，相应地，齿根高系数从 1.25 提高至 1.4），渐开线会变得更完整，啮合线也变得从 1.25 提高至 1.4、），渐开线会变得更完整，啮合线也变得更接近理想的形状：

啮合线“正确部分”变长了、“不正确部分”变短了。

但并不是“削”得越少，传动精度越高，因为齿顶的材料厚度小、应变大，因此在啮合的过程中，渐开线越靠近齿根的部分，啮合精度越高；渐开线越靠近齿顶的部分，啮合精度越低。不同场景中（主要影响因素是额定扭矩、齿轮模数、齿数、压力角），传动精度最高的齿顶高系数是不同的。 齿轮副参数：基于 ISO 53:1998轮廓A 齿形、1 模 24 齿、20 度压力角、厚度 7 mm、10 Nm 输入扭矩、4775 RPM 输入转速、5 kW 输入功率、齿根高系数 1.4、无变位、无其他修形、中心矩公差为 0、齿厚公差/背隙/齿距误差为 0、无摩擦。此时扭矩波动仅受材料模量和齿形影响。若齿顶高系数 为 1，输出扭矩曲线：

扭矩波动范围为（+0.03，-0.15），波峰在 C 点左侧、波谷在 C 点右侧。

若齿顶高系数 为 1.2：

扭矩波动范围为（+0.02，-0.12），波峰在 C 点左侧、波谷在 C 点右侧。

若齿顶高系数 为 1.4：

输出扭矩波动范围为（+0.01，-0.1），波谷在 C 点左侧、波峰在 C 点右侧。

这个例子是（容许范围内）齿顶高系数越大、传动精度越高。 文中提到的0.5 模 48 齿，（例子中的设定下）传动精度最高的齿顶高系数是 1。齿顶高系数是非常『难搞』的一个参数，调节它时应当如履薄冰、慎小谨微，多一丝则因齿顶应变而导致精度下降、少一丝则因啮合线“正确”部分过短而导致精度下降。通过增减齿顶高系数，还可以改变输出扭矩曲线波峰和波谷的位置，上例中，齿顶高系数小于大约 1.3 时，波峰在 C 点左、波谷在 C 点右；大于大约 1.3 时，波谷在 C 点左、波峰在C 点右（C 点为零滑动点）。这个特性可以被用来进一步提高传动精度。 上文中输出扭矩曲线没有计算摩擦力。摩擦系数 0.1，齿顶高系数为 1.3 时，摩擦力导致的扭矩损耗曲线：

C 点处有一个波峰、C 点左右各有一个波谷，W 形曲线。

这个曲线的形状受很多因素（模数、压力角、齿顶高度...）影响，上图是一个比较典型的形状（W 形曲线，此外还有 V 形曲线比较常见，W 形的传动精度远高于 V 形）。

可以通过对齿顶高系数非常细微地调整，使得无摩擦时的扭矩输出曲线的波峰在 C 点处，让材料模量和齿形导致的扭矩波动，与摩擦力导致的扭矩波动，部分地相互抵消，更进一步提高传动精度（但这个方法并不总是管用）。齿数偏少时（例如 1模 24 齿）不容易调到理想的结果，这也是精密传动偏爱小模数、高齿数的原因之一。

3. 齿『顶』修形（齿顶倒角/倒圆）

因为机加工误差（毛刺、崩边...），以及齿轮啮合时是先“点-线接触”，齿顶角很容易损坏，因此需要设计倒角/倒圆。倒角是最简单（最容易加工）的方式，但对传动精度只有负面作用（会减少啮合线“正确”部分的长度）：

0.15 mm、45 度倒角。

倒圆是最优的方式，甚至能极大地提高传动精度：

0.2 mm 倒圆

倒圆更接近渐开线的形状，并使得啮合时（从截面上看）一开始就是线-线接触。倒圆会减少啮合线“正确部分”的长度，因此在倒圆的同时，要增加齿顶高度。齿轮副参数：基于 ISO 53:1998轮廓A 齿形、0.5 模 48 齿（1 模 24 齿不容易调参）、19.8 度压力角（微调了一下，便于其他参数的调参）、厚度 7 mm、10 Nm 输入扭矩、4775 RPM 输入转速、5 kW 输入功率、齿根高系数 1.4、无变位、无其他修形、中心矩公差为 0、齿厚公差/背隙/齿距误差为 0、无摩擦。 （下列选取的都是该倒圆半径下传动精度最高的齿根高系数）此时，齿顶倒圆最大为 0.2157 mm（齿顶切圆），齿根高系数为 1.2402：

齿形

扭矩波动范围为（+0.035，-0.035）

齿顶倒圆 0.18 mm，齿根高系数 1.23：

齿形

扭矩波动范围为（+0.0050，-0.0075）

齿顶倒圆 0.16 mm，齿根高系数 1.21：

齿形

扭矩波动范围为（+0.005，-0.005）

齿顶倒圆 0.14 mm，齿根高系数 1.19：

齿形

扭矩波动范围为（+0.005，-0.005）

由上可见，齿顶倒圆能将（无加工误差、无摩擦的理想条件下的）输出扭矩波动从（+0.035，-0.035）降低至（+0.005，-0.005），即波动率从 0.7% 降低至 0.1%，甚至低于摩擦力导致的扭矩波动（0.2% 左右），传动精度提高了 7 倍。观察不同倒圆半径下，输出扭矩曲线的变化规律（倒圆半径越小，则曲线越趋近于波峰在 C 点左侧、波谷在 C 点右侧；倒圆半径越大，则曲线越趋近于波谷在 C 点左侧、波峰在 C 点右侧），可以发现，倒圆半径为 0.15 mm 左右时，解的结果是最稳定的，即 0.15 mm 是最优倒圆半径。

4. 齿『根』修形（齿根『圆角』半径）

（容许范围内）齿根『圆角』半径越大则齿根强度越高，并且对传动精度几乎没（非常非常小）影响，可以直接取最大容许（不发生干涉）的齿根『圆角』半径，“胆小”的朋友也可以使用保守值『根圆角半径系数 0.45（DIN 867:1986 以及一些论文推荐参考的数值）』。齿轮副参数：20 度压力角、厚度 5 mm（此处应该取 7 mm，答主做图表时疏忽了，因此下文中齿根安全系数偏低、使用寿命偏低，但不影响结论的正确性）、无修形、无变位，10 Nm 输入扭矩、4775 RPM 输入转速、5 kW 输入功率、中心矩公差为 0、齿厚公差/背隙/齿距误差为 0、无摩擦』，齿根圆角半径系数为 0.38（ISO 53:1998轮廓A 齿形规定的）。未调整齿根圆半径（齿根圆角半径系数 0.380）：

齿形（齿根圆角半径系数 0.380）

齿根区域应力（齿根圆角半径系数 0.380）

齿根安全系数（齿根圆角半径系数 0.380）

输出扭矩曲线（齿根圆角半径系数 0.380）

将齿根圆半径系数增至 0.471（本应设定为 0.45，答主做图表时疏忽了）：

齿形（齿根圆角半径 0.471）

齿根区域应力（齿根圆角半径系数 0.471）

齿根安全系数（齿根圆角半径系数 0.471）

输出扭矩曲线（齿根圆角半径系数 0.471）

5. 齿『根』修形（齿根『圆』半径）

减小齿根『圆』半径，会增大齿根应力，同时略微提高传动精度，对于 20CrMnTi（精密齿轮钢，屈服极限 850 MPa，通常认为齿根应力不超过 500 MPa 时，齿根拥有无限强度），只有齿根应力高于 600 MPa 左右时，才能达到提高传动精度的效果，『减小齿根『圆』半径』和『减小齿厚』提高传动精度的机理都是如此，因此不应使用这种方式提高传动精度，否则齿轮寿命（按照齿根安全系数预测）将不超过 100 小时。

6.变位

精密传动齿轮不会考虑变位，变位有三大作用：

实现任意中心距。如 1 模齿轮实现 77.77 mm 这样的中心距。

提高重合度。直齿轮的重合度接近 2 或 3 时，噪音会有极大降低。部分教材提及重合度有助于提高传动平稳性，但对于高精度齿轮（背缝小于 10 arcmin，即齿厚误差 0.01 mm 左右）而言，重合度对传动平稳性基本没有促进作用。

减小滑动率（滑动比/比滑）。主要作用是控制能量损耗（齿面发热）。

精密传动并不需要以上三个特性中的任何一个，变位齿轮还会对齿轮设计调参带来极大的不便（两个齿轮分开调参，工作量大了很多），因此精密传动普遍不使用变位齿轮。

8. 『至高』传动精度 （无加工误差、无摩擦下）0.1% 扭矩波动率，仍然还不是能达到的最高传动精度，更进一步地提高传动精度，需要考虑降低摩擦力对扭矩波动的影响。此外，加工误差对传动精度的影响，是可以被定量分析的。答主会将这些内容写在之后的回答中。

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审核编辑 ：李倩