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PnP几何结构和算法原理详解

3D视觉工坊 来源:3D视觉工坊 2022-12-22 09:25 次阅读

PnP(Perspective-n-Point)问题的几何结构如图1所示,给定3D点的坐标、对应2D点坐标以及内参矩阵,求解相机的位姿。

数学语言描述如下:

96fe07e6-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

971505f4-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

图1.PnP几何结构

1.直接线性变换法(Direct Linear Transform,DLT)

假设:摄像机已经校准过了。 已知:

973d066c-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

求解相机的外参:R、t 透视投影模型为:

974a0d26-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

每组3D-2D匹配点对应两个方程,一共有12个未知数,至少需要6组匹配点。 设有N组匹配点,则:

97761d6c-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

上式写成矩阵形式: AF=0 当N=6时,可以直接求解线性方程组。

978c75b2-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

因此, 旋转矩阵, 平移矩阵求得:

97a39972-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

2.P3P

P3P问题是已知三个3D目标点与其2D投影之间的对应关系,来确定标定相机的位姿问题。

97b3aa9c-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

97d3e15e-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

图2.两点约束

97e9b40c-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

97ff1bc6-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

注:直接线性变换法,只考虑了线性意义下的最优解,没有考虑几何约束。而P3P考虑了三角约束,给出三角约束意义下的最优解

2.1 Zero Structure for the P3P Equation System

文章[1]:Complete Solution Classification for the Perspective-Three-Point Problem

981c18e8-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

图3.三点约束 对于公式(16)的变量有一些真实的约束:

983d3b54-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

985a44a6-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

图4.三点约束--重定义边长 公式(17)消去C、v,得ES:

9872c990-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

2.2 PST

文章[2]:A Stable Direct Solution of Perspective-Three-Point Problem 使用相似三角形,利用几何约束来减少未知参数的个数,把P3P方程组转化为四次方程,该称为透视相似三角形方法(Perspective Similar Triangle ,PST)。

(1)P3P问题转为PST问题

988dae36-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

98a74238-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

图5.P3P几何结构

(2)PST的求解

98d7b7d8-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

98f1835c-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

图6.PST几何结构 约束1:相似三角形对应边成比例

9910c0c8-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

所以:

992b6144-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

99509c84-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

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9987af9e-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

(3)PST多解和缺解问题

由PST(perspective similar Triangle)求解,可得方程组等效转换为四次多项式

99b5fdea-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

多解问题: 由于存在多组解,相机位姿不能从3点集唯一确定的。解的个数直接对应于四次多项式实根的个数。要得到唯一的解,至少还应引入一点,构建2个三角形,进行求解。另一种方法是RANSAC算法,该算法将点集划分为3个点子集,检查这些子集的一致性。 RANSAC算法参考文献:Random Sample Consensus: A Paradigm for Model Fitting with Apphcatlons to Image Analysis and Automated Cartography 缺解问题:

99ce46a2-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

缺解问题是由P3P的固有结构决定的,其他P3P方法,如迭代解法、几何解法和分类法,也有同样的问题。

99eda6a0-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

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3.RPnP

文章[3]:A Robust O(n) Solution to the Perspective-n-Point Problem

9a2136b4-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

下面来看一下,如何建立新的正交坐标系,以及如何求解正交坐标系到相机坐标系之间[R T]。

3.1确定旋转轴

9a490f72-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

9a6d1462-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

当确定旋转轴时,只需求解剩余的旋转和三个平移参数,减少了未知变量的数量,来提高方程组的数值精度。

3.2求解旋转角和平移矢量的方程

相机坐标系与新坐标系绕之间的旋转矩阵:

9a8b3d34-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

9ab752a2-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

其中,

9acebf00-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

3.3获取相机的位姿

9afb3db4-8184-11ed-8abf-dac502259ad0.png

再获取到相机坐标系与新坐标系绕之间的旋转和平移矩阵,进而可直接相机坐标系与世界坐标系绕之间旋转和平移矩阵,即相机的位姿。

审核编辑:郭婷

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原文标题:一文详解PnP算法原理

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