编译器优化教程：寄存器分配 1

概念介绍

在介绍算法之前，我们回顾下基本概念：

• |X| ：X的度数，(无向图中)节点的邻居个数。
• CFG ：控制流图。
• successor ：本文指CFG中基本块的后继。
• 四元式 ：(op,result,arg1,arg2)，比如常见的a=b+c就可以看作四元式(+,a,b,c)。
• SSA(Static Single Assignment) ：静态单赋值。
• use/def ：举个例子，对于指令n: c <- c+b来说 use[n]={c,b}，def[n]={c}。
• live-in ：当以下任一条件满足时，则称变量a在节点n中是live-in的，写作a∈in[n]。节点n本文中代表指令。
  1. a∈use[n]；
  2. 存在从节点n到其他节点的路径使用了a且不包括a的def。
• live-out : 变量a在节点n的任一后继的live-in集合中。写作a∈out[n]
• 干涉 ：在某一时刻，两个变量在同一live-in集合中。
• RIG(Register Interfere Graph) : 无向图，其点集和边集构成如下：
• 节点：变量
• 边：如果两节点存在干涉，那么这两节点之间就有一条干涉边
• k-着色 ：给定无向图G=(V,E)，其中V为顶点集合，E为边集合。将V分为k个组，每组中没有相邻顶点，可称该图G是k着色的。当然可着色前提下，k越小越好。

需要注意的是，我们后续的算法会作用在最普通的四元式上，而不是SSA。在介绍寄存器分配算法之前，我们需要活跃变量分析来构建干涉图。

活跃变量分析与图着色算法

活跃变量分析

简单来说，就是计算每个点上有哪些变量被使用。

算法描述如下[1]：

input: CFG = (N, E, Entry, Exit)
begin
// init
for each basic block B in CFG
	in[B] = ∅
// iterate
do{
	for each basic block B other than Exit{
		out[B] = ∪(in[s]),for all successors s of B
		in[B] = use[B]∪(out[B]-def[B])
	}
}until all in[] do't change

活跃变量分析还有孪生兄弟叫Reaching Definitions，不过实现功能类似，不再赘述。

举个例子：对图1的代码进行活跃变量分析

图1[2]

可以得到每个点的活跃变量如图2所示：

图2

过程呢？限于篇幅，仅仅计算第一轮指令1的结果，剩余部分读者可自行计算。

步骤	下标	out	in
第一次迭代	1	{}	{b,c}
...	...	...	...

可画出RIG如图3：

图3

图着色

经过上文的活跃变量分析，我们得到了干涉图，下一步对其进行上色。

但是图着色是一个NP问题，我们会采用启发式算法对干涉图进行着色。基本思路是：

1. 找到度小于k的节点;
2. 从图中删除;
3. 判断是否为可着色的图;
4. 迭代运行前3步直到着色完成。

算法描述[3]：

input: RIG, k
// init
stack = {}
// iterate
while RIG != {} {
	t := pick a node with fewer than k neighbors from RIG // 这里RIG可以先按度数排序节点再返回
	stack.push(t)
	RIG.remove(t)
}
// coloring
while stack != {} {
	t := stack.pop()
	t.color = a color different from t's assigned colored neighbors
}

对于例子1，假设有4个寄存器r1、r2、r3、r4可供分配。

步骤	stack	RIG
0	{}
1	{a}
2	{d,a}

所以图3中的RIG是4-着色的。但如果只有三种颜色可用，怎么办呢？

没关系，我们还有大容量的内存，虽然速度慢了那么一点点。着色失败就把变量放在内存里，用的时候再取出来。

依然是上例，但是k=3，只有三个颜色。

如果f的邻居是2-着色的就好了，但不是。那就只能选一个变量存入内存了。这里我们选择将变量f溢出至内存。溢出后的IR和RIG如图：

图4 溢出后的IR

图5 溢出后的RIG

所以，溢出其实是分割了变量的生命周期以降低被溢出节点的邻居数量。溢出后的着色图如图6：

图6 着色后的图5

这里溢出变量f并不是明智的选择，关于如何优化溢出变量读者可自行查阅资料。

至此，图着色算法基本介绍完毕。不过，如果代码中的复制指令，应该怎么处理呢？

寄存器分配之前会有Copy Propagation和Dead Code Elimination优化掉部分复制指令，但是两者并不是全能的。

比如：代码段1中，我们可以合并Y和X。但是代码段2中Copy Propagation就无能为力了，因为分支会导致不同的Y值。

// 代码段1
X = ...
A = 10
Y = X
Z = Y + A
return Z

// 代码段2
X= A + B
Y = C
if (...) {Y = X}
Z = Y + 4

所以，寄存器分配算法也需要对复制指令进行处理。如何处理？给复制指令的源和目标分配同一寄存器。

那么如何在RIG中表示呢？如果把复制指令的源和目标看作 RIG中相同的节点 ，自然会分配同一寄存器。

• 相同节点？可以扩展RIG：新增虚线边，代表合并候选人。
• 成为合并候选人的条件是：如果X和Y的生命周期不重合，那么对于Y=X指令中的X和Y是可合并的。
• 为了保证合并合法且不造成溢出：合并后局部的度数

那么如何计算局部的度数？介绍三种算法：

• 简单算法
• Brigg's 算法
• George's 算法

1. 简单算法：(|X|+|Y|)，很保守的算法但是可能会错过一些场景
比如k=2时，图7应用简单算法是没办法合并的

图7[3]
但明显图7可以合并成图8：

图8[3]
2. Brigg's 算法：X和Y可合并，如果X和Y中度数≥k的邻居个数＜k。但是如果X的度数很大，算法效率就不高
3. George's算法：X和Y可合并，如果对Y的每个邻居T，|T| ‍比如k=2时，图9就可以合并X和Y。
   
   图9[3]
   相对于Brigg算法、George算法不用遍历节点的邻居。注意，图着色时可以按节点度数从小到大依次访问。

到此，图着色算法介绍完毕。