卡曼滤波器入门教程一维卡曼滤波器 2

示例5–估计建筑物的高度

假设我们要用非常不精确的高度测量仪来估计建筑物的高度，我们知道，建筑高度不会随时间变化，至少在短期测量过程中是如此。

数值示例

建筑真实高度是50米。高度测量仪测量误差（标准偏差）为5米。十个测量值分别为：48.54m、47.11m、55.01m、55.15m、49.89m、40.85m、46.72m、50.05m、51.27m、49.95m。迭代0初始化可以通过简单的观察来估计建筑物的高度，预计建筑高度为：

=60m

现在我们将初始化估计不确定度，一个人的估计误差（标准差）约为15米：σ=15，因此，方差为225：σ2=225。

p0,0=225

预测现在，我们将根据初始化值预测下一个状态：由于我们系统是恒定的，即建筑物不会改变其高度：

推导出来的估计不确定性（方差）也没有变化：

p1,0=p0,0=225

迭代1步骤1-测量第一次测量为：z1=48.54m由于高度计测量误差的标准偏差（σ）为5，方差（σ2）为25，因此测量不确定度为：r1=25。步骤2-更新计算卡尔曼增益：

估计当前状态：

更新当前估计的不确定度：

步骤3-预测由于我们系统是恒定的，即建筑物不会改变其高度：

推导估计不确定度（方差）也没有变化：

p2,1=p1,1=22.5

迭代2经过一个迭代后，来自上一次迭代的预测估计变为当前迭代中的上一次估计：

=49.69m

推导的估计不确定度变为先前的估计不确定度：

p2,1=22.5

步骤1-测量第二次测量为：z2=47.11m测量不确定度为：r2=25步骤2-更新计算卡尔曼增益：

估计当前状态：

更新当前估计的不确定度：

步骤3-预测由于我们系统是恒定的，即建筑物不会改变其高度：

=

=48.47m

推导估计不确定度（方差）也没有变化：

p3,2=p2,2=11.84

迭代3-10下表总结了后续迭代的计算：

下表对真实值、测量值和估计值进行了比较：

如图可见，经过7次测量，估计值收敛到约49.5米。下表对测量不确定度和估计不确定度进行了比较：

在滤波器第一轮迭代时，估计不确定度接近测量不确定度，并迅速降低，10次测量后，估计不确定度（σ2）为2.47，即估计误差标准偏差为：σ=1.57米。因此，我们可以说建筑高度估计为：49.57±1.57m。下图显示了卡尔曼增益：

如图所见，卡尔曼增益正在逐渐减小，使测量权重越来越小。

总结：

在本例中，我们使用一维卡尔曼滤波器测量了建筑物高度，与α−β−γ不同，本示例中的卡曼增益是动态的，取决于测量设备的精度。卡尔曼滤波器使用的初始值不是很精确，因此，状态更新方程中的测量权重比较高，估计不确定度也很高，在后续每次迭代中，测量权重较低；因此，估计的不确定度也较低。卡尔曼滤波器输出包括估计和估计不确定度。

一维卡尔曼滤波器的完整模型

为了使得一维卡尔曼滤波器模型更加完整，我们需要在协方差推导方程中添加过程噪声变量。

过程噪声：

在现实世界中，动态系统模型存在不确定性，例如，当我们想要估计电阻器的电阻值时，我们假设一个恒定的动态模型，即电阻在测量之间不改变。然而，由于环境温度的波动，电阻可能略有变化，当用雷达跟踪弹道导弹时，动态模型的不确定性包括目标加速度的随机变化，由于可能的飞机机动，不确定性对飞机来说更为重要。相反，当我们使用GPS接收机估计静态对象的位置时，由于静态对象不移动，动态模型的不确定性为零；动态模型的不确定性称为过程噪声，在文献中，它也被称为对象干扰、驱动噪声、动力学噪声、模型噪声和系统噪声。过程噪声产生估计误差。在前面的示例中，我们估计了建筑物的高度。由于建筑物的高度没有变化，我们没有考虑过程噪声。过程噪声方差用字母q表示。协方差推导方程应包括过程噪声。对于恒定动态系统模型的协方差推导方程为：

pn+1,n=pn,n+qn

以下是更新后的一维卡尔曼滤波方程：

注意1：状态推导方程和协方差推导方程取决于系统类型。注意2: 上表展示了针对特定情况定制的卡尔曼滤波器方程的特殊形式，方程的一般形式将在后面的矩阵表示法中给出，现在，我们的目标是理解卡尔曼滤波器的概念。