阻抗匹配和史密斯图阻抗

使用史密斯图进行射频阻抗匹配的教程。示例显示了绘制反射系数、阻抗和导纳的示例。MAX2472的样本匹配网络采用图形方法设计为900MHz。

经过验证，史密斯图仍然是确定传输线阻抗的基本工具。

在处理RF应用的实际实现时，总有一些噩梦般的任务。一是需要匹配互连块的不同阻抗。通常包括天线到低噪声放大器 （LNA）、功率放大器输出 （RFOUT） 到天线以及 LNA/VCO 输出到混频器输入。匹配任务是将信号和能量从“源”正确传输到“负载”所必需的。

在高射频下，杂散元件（如导线电感、层间电容和导体电阻）对匹配网络具有重大但不可预测的影响。在几十兆赫兹以上，理论计算和模拟往往是不够的。在确定适当的最终值时，必须考虑原位射频实验室测量以及调谐工作。需要计算值来设置结构类型和目标组件值。

有许多方法可以进行阻抗匹配，包括：

计算机模拟：复杂但易于使用，因为此类模拟器专用于不同的设计功能，而不是阻抗匹配。设计人员必须熟悉需要输入的多个数据输入和正确的格式。他们还需要专业知识，以便在大量结果中找到有用的数据。此外，电路仿真软件不会预先安装在计算机上，除非它们专用于此类应用程序。

手动计算：由于方程的长度（“公里”）和要操作的数字的复杂性，因此很乏味。

本能：只有在一个人在射频行业投入多年后才能获得。简而言之，这是给超级专家的。

史密斯图： 本文集中讨论的内容。

本文的主要目的是回顾史密斯图的结构和背景，并总结其使用的实际方法。讨论的主题包括参数的实际说明，例如查找匹配的网络组件值。当然，匹配最大功率传输并不是我们唯一可以用史密斯图做的事情。它们还可以帮助设计人员完成优化最佳噪声系数、确保品质因素影响和评估稳定性分析等任务。

图1.阻抗和史密斯图的基本原理。

快速入门

在介绍史密斯图实用程序之前，谨慎的做法是简要回顾一下RF条件下（100MHz以上）IC布线的波传播现象。这对于意外情况可能有效，例如RS-485线路、PA和天线之间、LNA和下变频器/混频器之间等。

众所周知，为了获得从电源到负载的最大功率传输，源阻抗必须等于负载阻抗的复共轭，或者：

RS+ jXS= RL- jXL

图2.R 的示意图S+ jXS= RL- jXL.

在这种情况下，从电源到负载的能量最大化。此外，为了进行有效的电力传输，需要此条件以避免能量从负载反射回电源。对于视频线、射频和微波网络等高频环境尤其如此。

它是什么

史密斯图是一个圆形图，上面有很多交错的圆圈。如果使用得当，无需任何计算即可匹配具有明显复杂结构的阻抗。唯一需要的努力是沿圆圈读取和跟踪值。

史密斯图是复反射系数（也称为伽马，用Γ符号化）的极坐标图。或者，它在数学上定义为 1 端口散射参数 s 或 s11.

史密斯图是通过检查阻抗必须匹配的负载来开发的。您不是直接考虑其阻抗，而是表示其反射系数ΓL，用于表征负载（如导纳、增益和跨导）。The ΓL在处理射频频率时更有用。

我们知道反射系数定义为反射电压波和入射电压波之间的比率：

图3.负载阻抗。

来自负载的反射信号量取决于源阻抗和负载阻抗之间的不匹配程度。其表达式定义如下：

因为阻抗是复数，所以反射系数也是一个复数。

为了减少未知参数的数量，冻结应用程序中经常出现且常见的参数很有用。这里 Z0（特性阻抗）通常是一个常数和实际的工业归一化值，例如50Ω、75Ω、100Ω和600Ω。然后，我们可以通过以下方式定义归一化负载阻抗：

通过这种简化，我们可以将反射系数公式重写为：

在这里，我们可以看到负载阻抗与其反射系数之间的直接关系。不幸的是，关系的复杂性在实际中没有用，因此我们可以将史密斯图用作上述方程的一种图形表示。

要构建图表，必须重写方程以提取标准几何图形（如圆或杂散线）。

首先，将等式 2.3 反转，得到：

和

通过将等式 2.5 的实部和虚部相等，我们得到了两个独立的新关系：

然后，通过将方程2.6至2.8发展为最终方程2.13来操纵等式2.14。该方程是以坐标 [r/（r + 1）， 0] 为中心且半径为 1/（1 + r） 的圆的复平面 （Γr， Γi） 中的参数方程 （x - a）² + （y - b）² = R² 形式的关系。

有关更多详细信息，请参见图 4a。

图 4a.位于圆上的点是所有阻抗，其特征是相同的实际阻抗部分值。例如，圆 r = 1 以坐标 （0.5， 0） 为中心，半径为 0.5。它包括点（0，0），这是反射零点（负载与特性阻抗匹配）。短路作为负载，呈现一个以坐标 （0， 0） 为中心的圆，半径为 1。对于开路负载，圆退化为单个点（以 1， 0 为中心，半径为 0）。这对应于最大反射系数 1，此时整个入射波被完全反射。

在开发史密斯图时，应注意某些预防措施。这些是最重要的：

所有圆在坐标 （1， 0） 处都有一个相同的唯一相交点。

没有阻力 （r = 0） 的零Ω圆是最大的一个。

无限电阻圆在（1， 0）处减小到一个点。

不应该有负阻力。如果发生一个（或多个），我们将面临振荡条件的可能性。

只需选择与新值相对应的另一个圆圈即可选择另一个电阻值。

从头再来

继续，我们使用等式 2.15 到 2.18 将等式 2.7 进一步发展为另一个参数方程。这导致等式2.19。

同样，2.19 是以坐标 （1， 1/x） 为中心且半径为 1/x 的圆的复平面 （Γr， Γi） 中类型 （x - a）² + （y - b）² = R² 的参数方程。

有关更多详细信息，请参见图 4b。

图 4b.位于圆上的点是所有由相同的假想阻抗部分值x表征的阻抗。例如，圆 × = 1 以坐标 （1， 1） 为中心，半径为 1。所有圆（常量 x）都包含点 （1， 0）。与实部圆不同，×可以是正数，也可以是负数。这解释了复平面底部的重复镜像圆。所有圆心都放置在垂直轴上，与点 1 相交。

明白了吗？

为了完成我们的史密斯图，我们叠加了两个圆圈的族。然后可以看出，一个家庭的所有圆圈将与另一个家庭的所有圆圈相交。知道阻抗，以r+jx的形式，可以确定相应的反射系数。只需要找到对应于值 r 和 x 的两个圆的交点。

这也是互惠

反向操作也是可能的。知道反射系数，找到在该点相交的两个圆，并在圆上读取相应的值 r 和 ×。此过程如下：

确定阻抗作为史密斯图上的一个点。

找到阻抗的反射系数 （Γ）。

具有特性阻抗和Γ，找到阻抗。

将阻抗转换为导纳。

找到等效阻抗。

找到所需反射系数的分量值（特别是匹配网络的元素，请参见图 7）。

要推断

由于史密斯图解析技术基本上是一种图形方法，因此解决方案的精度直接取决于图形定义。下面是一个可以用史密斯图表示的射频应用示例：

例：考虑50Ω端接的特性阻抗和以下阻抗：

Z1= 100 + j50Ω	Z2= 75 - j100Ω	Z3= j200Ω	Z4= 150Ω
Z5= ∞ （开路）	Z6= 0（短路）	Z7= 50Ω	Z8= 184 - j900Ω

然后，归一化并绘制图（参见图 5）。这些点的绘制方式如下：

z1= 2 + j	z2= 1.5 - j2	z3= j4	z4= 3
z5= 8	z6= 0	z7= 1	z8= 3.68 - j18

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图5.在史密斯图表上绘制的点。

现在可以直接提取图5的史密斯图上的反射系数Γ。绘制阻抗点（恒定电阻圆和恒定电抗圆的交点）后，只需读取水平轴和垂直轴上的矩形坐标投影即可。这将得到反射系数的实部Γr和反射系数的虚部Γi（见图6）。

也可以采用示例中介绍的八个案例，并直接从图 6 的史密斯图中提取其相应的Γ。这些数字是：

Γ1= 0.4 + 0.2j	Γ2= 0.51 - 0.4j	Γ3= 0.875 + 0.48j	Γ4= 0.5
Γ5= 1	Γ6= -1	Γ7= 0	Γ8= 0.96 - 0.1j

图6.沿 X-Y 轴直接提取反射系数Γ实数和虚部。

使用准入

史密斯图是通过考虑阻抗（电阻和电抗）来构建的。一旦建立了史密斯图，它就可以用于分析串联和平行世界中的这些参数。在系列中添加元素非常简单。可以添加新元素，并通过简单地沿着圆移动到其各自的值来确定其效果。但是，并行对元素求和是另一回事。这需要考虑其他参数。通常，在导纳世界中使用并行元素更容易。

我们知道，根据定义，Y = 1/Z 和 Z = 1/Y。准入以 mhos 或 Ω 表示-1，虽然现在表示为西门子或 S。而且，由于 Z 是复杂的，因此 Y 也必须是复杂的。

因此，Y = G + jB （2.20），其中G称为“电导”，B称为元素的“敏感性”。不过，谨慎行事很重要。通过遵循逻辑假设，我们可以得出结论，G = 1/R 和 B = 1/X。然而，情况并非如此。如果使用此假设，则结果将不正确。

使用导纳时，我们必须做的第一件事是归一化 y = Y/Y0.这导致 y = g + jb。那么，反射系数会发生什么变化呢？通过以下工作：

事实证明，G 的表达式与 z 相反，Γ（y） = -Γ（z）。

如果我们知道 z，我们可以反转Γ的符号并找到一个距离 （0， 0） 相同距离但方向相反的点。通过围绕中心点旋转 180° 角度可以获得相同的结果（见图 7）。

图7.180°旋转的结果。

当然，虽然 Z 和 1/Y 确实表示相同的分量，但新点显示为不同的阻抗（新值在史密斯图中具有不同的点和不同的反射值，依此类推）。发生这种情况是因为该图是阻抗图。但新的一点，实际上是一种承认。因此，图表上读取的值必须读取为西门子。

虽然这种方法足以进行转换，但在并行处理元件时，它不适用于确定电路分辨率。

导纳史密斯图

在前面的讨论中，我们看到阻抗史密斯图上的每个点都可以通过围绕Γ复平面的原点旋转 180° 来转换为其导纳对应物。因此，通过将整个阻抗史密斯控制图旋转180°可以获得导纳史密斯图。这非常方便，因为它消除了构建另一个图表的必要性。所有圆的交点（恒定电导和恒定置射）自动位于点 （-1， 0）。有了这个情节，并行添加元素也变得更加容易。在数学上，导纳史密斯图的构造由以下公式创建：

然后，反转等式：

接下来，通过将等式 3.3 的实部和虚部相等，我们得到两个新的独立关系：

通过开发等式3.4，我们得到以下结果：

它又是圆的复平面 （Γr， Γi） 中类型 （x - a）² + （y - b）² = R² （方程 3.12） 的参数方程，其坐标以 [-g/（g + 1）， 0] 为中心，半径为 1/（1 + g）。

此外，通过开发等式3.5，我们表明：

这又是类型 （x - a）² + （y - b）² = R² 的参数方程（方程 3.17）。

等效阻抗分辨率

在解决串联和并联元素混合在一起的问题时，我们可以使用相同的史密斯图，并围绕存在从 z 到 y 或 y 到 z 的转换的任何点旋转它。

让我们考虑图 8 的网络（元素使用 Z 归一化0= 50Ω).串联电抗（x）对于电感为正，对于电容为负。磁化率（b）对电容为正，对电感为负。

图8.多元件电路。

电路需要简化（见图9）。从右侧开始，那里有一个电阻器和一个值为1的电感，我们绘制一个系列点，其中r圆= 1，l圆= 1。这成为A点。由于下一个元素是分流（平行）中的元素，我们切换到导纳史密斯控制图（通过将整个平面旋转 180°）。但是，要做到这一点，我们需要将前一点转换为准入。这变成了 A'。然后我们将平面旋转 180°。我们现在处于准入模式。分流元件可以通过沿电导圈移动对应于0.3的距离来添加。这必须以逆时针方向（负值）完成，并给出点 B。然后我们还有另一个系列元素。我们再次切换回阻抗史密斯图。

图9.图 8 的网络及其元素进行了细分分析。

在执行此操作之前，再次有必要将前一点重新转换为阻抗（这是导纳）。转换后，我们可以确定 B'。使用先前建立的例程，图表再次旋转 180° 以返回到阻抗模式。串联元件是沿着电阻圈沿着对应于1.4的距离和标记点C相加的。这需要逆时针完成（负值）。对于下一个元素，将执行相同的操作（转换为导纳和平面旋转）。然后沿恒定电导圈顺时针方向移动规定的距离（1.1）（因为该值为正）。我们将其标记为 D。最后，我们重新转换回阻抗模式并添加最后一个元件（串联电感）。然后，我们确定位于电阻圆 0.2 和电抗圆 0.5 的交点处的所需值 z。因此，z 被确定为 0.2 + j0.5。如果系统特性阻抗为50Ω，则Z = 10 + j25Ω（见图10）。

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图 10.绘制在史密斯图上的网络元素。

按步骤匹配阻抗

史密斯图的另一个功能是能够确定阻抗匹配。这是查找给定网络的等效阻抗的反向操作。此处，阻抗固定在两个接入端（通常是源极和负载），如图11所示。目标是设计一个在它们之间插入的网络，以便进行适当的阻抗匹配。

图 11.具有已知阻抗和未知元件的代表电路。

乍一看，这似乎并不比找到等效阻抗更困难。但问题是，可以存在无限数量的匹配网络组件组合，从而产生类似的结果。可能还需要考虑其他输入（例如滤波器类型结构、质量因数和有限的组件选择）。

为此选择的方法需要在史密斯图上添加串联和分流元件，直到达到所需的阻抗。从图形上看，它似乎找到了一种链接史密斯图上的点的方法。同样，说明该方法的最佳方法是以需求为例。

目标是匹配源阻抗（ZS） 到负载 （Z）L）的工作频率为60MHz（见图11）。网络结构已固定为低通，L型（另一种方法是将问题视为如何强制负载显示为值= Z的阻抗S，Z 的复共轭物S).以下是找到解决方案的方法。

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图 12.图 11 的网络及其点绘制在史密斯图上。

首先要做的是规范化不同的阻抗值。如果未给出，请选择与荷载/源值在相同范围内的值。假设 Z0为50Ω。因此 zS= 0.5 - j0.3， z*S= 0.5 + j0.3，并且zL= 2 - j0.5。

接下来，在图表上定位两个点。标记 A 表示 zL和 D 表示 z*S.

然后确定连接到负载的第一个元件（并联中的电容器）并转换为导纳。这给了我们A'点。

确定电容器C连接后下一个点将出现的电弧部分。由于我们不知道C的值，因此我们不知道在哪里停止。然而，我们确实知道方向。分流中的 C 表示在导纳史密斯控制图上沿顺时针方向移动，直到找到该值。这将是B点（准入）。由于下一个元件是串联元件，因此必须将B点转换为阻抗平面。然后可以获得B'点。B'点必须与D位于同一电阻圆上.图形上，从A'到D只有一个解决方案，但中间点B（因此B'）需要通过“测试和尝试”设置进行验证。找到点 B 和 B' 后，我们可以测量弧 A' 到 B 和弧 B' 到 D 的长度。第一个给出 C 的归一化置疑值。第二个给出L的归一化电抗值。弧 A' 到 B 的测量值为 b = 0.78，因此 B = 0.78 × Y0= 0.0156S。因为ωC = B，那么C = B/ω = B/（2 π f） = 0.0156/[2π（60 × 106）] = 41.4pF。

弧 B' 到 D 的测量值为 x = 1.2，因此 X = 1.2 × Z0= 60Ω.因为 ωL = X，所以 L = X/ω = X/（2 π f） = 60/[2π（60 × 106）] = 159nH。

图 13.MAX2472典型工作电路

第二个示例将MAX2472的输出与50Ω负载阻抗（zL）的工作频率为900MHz（见图14）。该网络将使用MAX2472数据资料中所示的相同配置。上图显示了具有并联电感器和串联电容器的匹配网络。以下是找到解决方案的方法。

图 14.图 13 的网络及其点绘制在史密斯图上。

首先要做的是转换 S22散射参数转换为其等效归一化源阻抗。MAX2472使用Z0为50Ω。因此 S22= 0.81/-29.4° 变为 zS= 1.4 - j3.2， zL= 1 和 zL* = 1。

接下来，在图表上定位两个点。标记 A 表示 zS和 D 表示 zL*.由于连接到源的第一个元件是并联电感，因此请将源阻抗转换为导纳。这给了我们A'点。

确定电感L连接后下一个点将出现的电弧部分火柴.因为我们不知道L的值火柴，我们不知道在哪里停下来。但是，我们确实知道，在添加 L 之后火柴（并转换回阻抗），得到的源阻抗应位于r = 1圆上。因此，附加串联电容器C火柴可以使所得阻抗达到z = 1 + J0。通过将r = 1圆围绕原点旋转180°，我们绘制出与r = 1圆相对应的所有可能的导纳值。这个反射圆和与点A'一起使用的恒定电导圆的交点给了我们B点（导纳）。B点对阻抗的反射成为B'点。

找到点 B 和 B' 后，我们可以测量弧 A' 到 B 和弧 B' 到 D 的长度。第一次测量给出L的归一化置化置化值火柴.第二个给出C的归一化电抗值火柴.弧 A' 到 B 的测量值为 b = -0.575，因此 B = -0.575 × Y0= 0.0115S。因为 1/ωL = B，那么 L火柴= 1/Bω = 1/（B2πf） = 1/（0.01156 × 2 × π × 900 × 106） = 15.38nH，四舍五入为 15nH。弧 B' 到 D 的测量值为 × = -2.81，因此 X = -2.81 × Z0= -140.5Ω.因为 -1/ωC = X，那么C火柴= -1/Xω = -1/（X2πf） = -1/（-140.5 × 2 × π × 900 × 106） = 1.259pF，四舍五入为 1pF。虽然这些计算值未考虑元件的寄生电感和电容，但它们产生的值接近数据手册规定的值L火柴= 12nH 和 C火柴= 1pF。

结论

鉴于当今软件的丰富性和高速高功率计算机的可访问性，人们可能会质疑是否需要这种基本和基本的方法来确定电路基本原理。

实际上，使工程师成为真正工程师的不仅是学术知识，还有使用各种资源解决问题的能力。将几个数字插入程序并让它吐出解决方案很容易。当解决方案复杂且多方面时，拥有一台计算机来完成繁重的工作特别方便。但是，了解已移植到计算机平台的基本理论和原理以及它们的来源，使工程师或设计师成为更全面和自信的专业人士，并使结果更加可靠。

审核编辑：郭婷