自动控制原理及实例分析

实例分析：

带有正反馈，负反馈，信号线交叉的结构图简化：

比较点ab之间是一个并联方框连接，引出点1夹在两个比较点a,b之间，G1G2无法并联简化，需要把引出点1移动。

引出点不能与比较点交换，因此只能往前移动到a后面、G2前面的位置；

把G1,G2并联方框简化，把G2G4串联方框简化，没有标明符号的比较点都是默认正反馈：

把引出点2前移，使得H负反馈回路不交叉：

简化负反馈连接方框：

由此，简化后方框之间的连接关系是简单的串并联关系，最后化简为：

信号流图的组成及其性质

信号流图起源于梅森利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，他是由节点和支路组成的一种信号传递网络；

节点用小圆圈表示，代表方程式中的变量。支路是连接两个节点的定向线段，用支路增益表示方程式中两个变量的因果关系，因此把支路称为乘法器。

以电阻元件为例，电阻流过的电流为I，电阻两端的电压为U，电阻为R。

电阻满足欧姆定律：U=IR。如果定义电流I为输入，输出为电压U，支路增益为R，就可以用信号流图形式表示电阻元件；

归纳：

1 节点标志系统的变量。每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和。从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。

2 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。

3 信号在支路上只能沿箭头方向传递。

4 对于给定的系统，节点变量的设置是任意的，信号流图不唯一。

术语：

源节点（输入节点）：在源节点上，只有信号输出的支路，而没有信号输入的支路，它一般代表系统的输入变量，故也称为输入节点。

阱节点（输出节点）：在阱节点上，只有输入支路， 没有输出支路，一般代表输出变量故也称为输出节点；

混合节点：既有输入支路又有输出支路。

前向通道：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。前向通路上各支路增益乘积称为前向通道总增益。

回路：起点和终点在同一个节点，而且信号通过每一个节点不多于一次的闭合通路。

不接触回路：回路之间没有公共节点。

信号流图绘制：

任何线性数学方程都可以用信号流图表示，对于含有微分或积分的线性方程，通常经过拉氏变换，允许考虑非零初始条件，将微分方程变换为s的代数方程后再画信号流图。

绘图步骤：对系统中每个变量指定一个节点，按变量因果关系从左到右顺序排列；用标明支路增益的支路，根据数学方程式将各节点变量正确连接。

已知系统结构图：信号线上标记传递的信号，方框是对变量进行变换或运算的算子。

设电容C两端电压为u1(t),考虑初始电压u1(0),

等式求取拉氏变换，

可求出非初始条件下，电容电流I2(s)：

绘制信号流图：把结构图中信号线用小圆圈代替，表示传递的信号，方框用标有传递函数的有向线段代替，表示带有增益的支路。

注意，在比较点之前有比较点或引出点的情况，需要各设置一个节点，分别标志两个变量，它们之间的支路增益是1。

梅森增益公式：

利用梅森Mason增益公式直接求取从源节点到阱节点的传递函数。当不考虑非零初始条件时，也可用Mason公式计算系统结构图的传递函数。

梅森增益公式可以用克莱姆法则求解线性方程组获得；

根据信号流图，列写变量代数方程：

把输入量提到公式右侧，左侧为待求变量：

对于线性系统，可直接求取上述非齐次线性方程的解：

方程系数矩阵行列式值：

用方程右侧自由项替换矩阵第四列，求对应行列式值：

由克莱姆法则可求出X4及系统传递函数：

梅森公式具有一般性：

1 传递函数分母多项式是系统参数构成的系数行列式，分子多项式用自由项替换与输出变量对应的列向量对应的行列式。

2 分母多项式包含所有独立回路增益之和，所有互不接触单独回路增益乘积之和，增益符号为-1，N个单独回路增益相乘相当于符号为（-1）N。

比如上式中，分母多项式的dh,cg,bf前的符号为负，dhbf前的符号为正。

3 分子多项式包含前向通道总增益减去与前向通道不接触回路的回路增益乘以该前向通道总增益，简化表达式为前向通道总增益乘以分母多项式去掉所有与该前向通道接触的回路增益项后的余项式；

比如上式中，分子多项式所包含的前向通道增益e，与cg和bf不接触，因此可以把分母多项式中包含的dh看做为0，去掉与0相关的所有项后，获得不接触回路余项式为1+（-cg-bf）

用梅森公式计算系统传递函数：

这个系统有一个前向通道，三个接触单独反馈回路；

因此，分子多项式只包含前向通道增益，余因子式为1；

分母多项式：所有回路互相接触，因此只包含所有单独回路的增益之和；

这个信号图含有两个前向通道，前向通道增益分别为P1=G1G2G3,P2=G1G4;

有五个单独回路，与前向通道G1G2G3相关的独立回路L1=-G1G2H1,L2=-G2G3H2,L3=-G1G2G3,与前向通道G1G4相关的独立回路：L4=-G4H2,L5=-G1G4；

不接触回路为零；

分子多项式为：两个前向通道的余因子式都为1

分母多项式为：所有回路互相接触，因此只包含所有单独回路的增益之和；

这个信号图中，单独回路有四个：G1，G2，G3，G1G2

两两互不接触回路有四组：

三个互不接触回路有一组：

因此，分母多项式为：

从源节点R到阱节点C的前向通道共有四条，前向通道增益及余因子式分别为：

第四个前向通道比较特殊，不接触回路为零。

系统传递函数为：

用梅森公式校验系统结构图的传递函数：

把系统结构图转换为信号流图：

在系统结构图的信号线上，用小圆圈标注各变量对应的节点

将各节点按原来顺序自左向右排列，把方框用带有增益的支路代替

系统存在2个单独回路G2H,G1H，3个前向通道G1G3,G2G3,G2G4。不接触回路为零。

从源节点R到阱节点C的前向通道共有3条，前向通道总增益及余因子式分别为：

单独回路有2个：

获得系统传递函数：

可见，运用梅森公式可以非常方便的计算系统传递函数，省去了结构图的简化过程。