误差放大器的大小信号环路

本文的目的

Buck系列文章在第3篇中介绍了基于Buck变换器的大小信号模型，着重突出了PWM调制器(后文标为FM)和主功率级开关电路(Power Stage)大信号的非线性和传统小信号建模的局限性。

要构成完整的闭环控制，还要串接入输出电压的反馈网络(传感器)，和环路频率校正的补偿器(调节器/控制器)。 在模拟控制中，运放和外围RC元件共同组成 误差放大器 ( EA , Error Amplifier)，恰起到 补偿器 ( 传函为Gc , Compensator)的作用。

下图是理想运放反相放大器和差分放大器的基本单元。 当R被更复杂的RC网络替代时，利用阻抗Z的复频域表达式，即可得到期望频率特性的补偿器Gc。

(图片来源: TI, Analog Engineer’s Circuit Cookbook: Amplifiers)

尽管理想EA得到的补偿器Gc是线性模型，但其连接方式的差异 ，是否会引起大小信号模型的差异呢？ 答案是肯定的。

可惜的是，这点似乎被选择性忽视(笔者至今未见过同质性分析)。 本文将以最简单的电压模式控制的Buck为例，分析理想EA及基于它的补偿器网络，在环路大小信号模型中的差异。

大信号环路和小信号环路
--EA目标任务的不同

首先给出电压模式控制的Buck变换器示意图，环路的控制模型如下。

(图片来源: Erickson, Fundamentals of Power Electronics)

倘若我们能直接处理大信号的模型，那么大信号必然是普适性更强的方法，上图对应的大信号控制环路的信号流图如下，两者对照，物理意义十分清晰。

文中已经指出大小信号模型的差别，为了能够线性化，必须基于一个DC工作点上注入AC扰动再进行小信号分析。 在实际的环路测试中，我们是在反馈支路中串入一个小电阻进行扰动信号的注入，其等效电路模型如下。

（图片来源：TI， DC/DC转换器环路稳定性测试的理解与仿真）

因此，小信号控制环路的 输入是反馈支路注入的扰动 ，其信号流图如下。 为了研究扰动输入下的环路增益loop gain，根据线性电路的叠加定理， v ̂ref作为另一个独立的扰动输入则需要被短路处理，因此才有v ̂ref=0 。

由此可得， 补偿器Gc在大小信号环路中的目标任务是不同的 。

	Gc的输入信号，被放大的变量	解释
大信号环路	误差量	参考减去反馈
小信号环路	负的反馈扰动	0减去反馈

误差放大器连接方式的演化

给出如下三种EA常用的连接形式。

需要注意，无论是形式1/2/3，为了满足稳态时的分压比关系以及分压电阻和补偿器之间的关系解耦，分压支路和补偿器支路必须满足阻抗的匹配关系。

实际应用中因形式3阻抗匹配最容易满足，且元器件数量最少，故最为常见。

大信号Gc的目标任务是处理差分误差量的放大，联想到差分放大器得到的必然是形式1的连接方法。

采用形式1的Gc表达式推导如下，结果完全符合大小信号Gc的目标任务。

形式2和形式1的唯一差别在于，形式2把差分放大变为了单端放大，运放+端直接连接参考电压VREF。 这种情况下补偿器的输出会包含vref的信息。

采用形式2的Gc表达式推导如下，可以看到小信号符合Gc的目标任务，但大信号模型中额外包含了VREF的信息。

形式3对形式2做了进一步简化，将分压电阻Rx和补偿网络中的输入电阻Zc1进行合并(Rx,Ry也改为Zx,Zy)，并在不改变直流分压比(依然由Zx中的Rx，和Zy中的Ry决定)的情况下，将分压电阻改为分压阻抗，同样实现了灵活频率特性的设计。

采用形式3的Gc表达式推导如下，可以看到小信号符合Gc的目标任务，但大信号模型中额外包含了VREF的信息。

无意引入的前馈

由上节的推导可知，不论何种形式其小信号模型均是正确的，但大信号上形式2/3和物理意义对应不上，无意引入了VREF输入的比例前馈，下图中以K表示。

需要注意，这和电压模式控制可采用的"输入电压前馈控制“不是一回事

带前馈的负反馈闭环控制系统分析方法为，将输入到输出分为a,b两个子系统。

参考输入到输出的负反馈系统，基于开环增益loop gain的波特图分析

参考输入经过前馈环节、被控对象到输出的前馈通道系统，前馈网络则可基于前馈通道上系统传递函数的波特图分析

(图片来源: 胡寿松,《自动控制原理》)

回顾《自动控制原理》中的“复合校正”章节，前馈可以提前将被馈量的变化直接送给执行机构，不经过反馈补偿器的运算， 提高响应速度 。 从频域的角度即最后整体的闭环传函C(s)/R(s)相比之前带宽明显上升； 另一方面，加入前馈环节后整个闭环系统分母特征方程的根不变，开环增益loop gain不变， 不会影响系统的稳定性 。

实际工程中，设计人员仅针对小信号的环路做补偿设计，本就未期望对大信号的环路做任何的优化设计，这一点未纳入特殊的考虑也算合情合理。

但对于理论研究来说，笔者坚信任何一个小问题都值得刨根问底。