傅里叶变换与信号的频谱讲解

1 信号与系统的基本概念

信号是信息和消息传播的载体和工具，一般表现为随时间不断变化的某种物理量或者物理参数。

信号：基带信号、载波信号、已调信号、噪声，……

系统是指由若干相互有联系的事物组合而成的整体，用于将送入系统的输入信号进行加工处理、运算变换后得到期望的输出信号，或者将信号传输到接收端。

系统：通信系统、发射机、接收机、信道、……

信号的分类：

模拟信号、数字信号；

连续信号、离散信号、数字信号

确定信号、随机信号——

确定信号：能够用确定的时间函数表达式或波形图描述，在任一指定时刻的幅度都可以根据函数表达式或波形图来确定。

随机信号：如果没有确定的时间函数表达式，在任一时刻的幅度取值事先都不可确定，而只知道幅度取为某个数值的概率有多大。

2 傅里叶变换与信号的频谱

2.1 信号的频谱

频谱（Spectrum）

通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的正弦信号分量的叠加，而信号的傅里叶变换F(jω)反映了信号中各分量的幅度和相位随其角频率ω的变化关系。

称为信号的频谱密度。 简称为频谱（Spectrum）。

幅度谱、相位谱

对实信号，幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数

单边谱、双边谱

能量信号的频谱

所有能量信号的频谱都不含有冲激函数，而是以ω为自变量的连续或者分段函数。

周期信号的频谱

周期信号的频谱由无穷多个冲激构成，各冲激函数位于基波角频率的整数倍位置。

因此周期信号的频谱都是离散谱，而非周期信号和能量信号的频谱都是连续谱。

傅里叶变换的另一种形式

两种形式之间的关系：

特别注意：对周期信号

例如，周期冲激信号——

2.2 傅里叶变换的常用性质

时移性质

物理含义——

在时域，将信号沿着时间轴平移；

在频域，信号的幅度谱将保持不变，只是相位谱有附加的相移-ωt₀，即信号中的所有分量都将平移相同的时间t₀。

尺度变换性质

物理含义：

信号的时宽与带宽成反比。

在时域增加信号的持续时间，则信号的频谱宽度将得到压缩；

反之，减小信号持续的时间，信号的频谱宽度将增大。

在通信系统中，要求以更快地的速度传输信号，相当于将信号在时域中进行压缩，则信号的带宽将增大，也就要求传输信道提供更大的带宽。

频移性质（调制定理）

2.3 信号的能量谱、功率谱与自相关函数

频谱代表的是信号中各频率分量的幅度和相位

功率谱代表的是信号中各分量的功率

信号的总功率等于各分量功率的和（连续和、积分）

2.4 信号的带宽

信号通过傅里叶变换分解为很多不同频率正弦信号分量的叠加，信号的频带宽度B（简称为带宽 Bandwidth）

定义为所有分量频率的变化范围，或者频谱图中右半平面不恒为0的部分在横轴上的投影宽度，单位为Hz。

近似带宽：

实际信号的频谱都具有收敛性，各分量的幅度都将随着频率的增大而逐渐衰减。

超过一定频率的分量，其幅度可以忽略，因此可将该频率近似定义为信号的带宽。

带通信号的带宽：

对通信系统中传输的各种已调信号，大都属于带通信号，也就是信号的频谱位于某个较高的频率 f₀ 附近，如图2-9所示。

一般情况下，当

即可视为带通信号。

3 线性系统与滤波器

3.1 线性系统及其频率特性

物理含义——

幅频特性| H(jω)|或| H(jf )|代表信号通过系统传输时，

系统对其中各分量幅度的放大倍数，

而相频特性φ(ω)或φ( f )代表信号中各分量相位和时间的延迟。

3.2 系统响应的频域求解

3.3 滤波器

系统的无失真传输

满足上述条件的系统，带宽为无穷大。

考虑到实际系统传输的信号带宽有限，只要满足系统带宽不低于传输信号的带宽，就近似认为传输没有失真。

例数字信号通过不同带宽的信道（滤波器）：

滤波器

信号通过系统时，有些分量被全部滤除，而另外一些分量能够通过系统，

在系统的输出信号中存在同频率的分量。 具有这种特性的系统称为滤波器。

根据幅频特性，将理想滤波器分为四种基本类型，即

低通滤波器（LPF，Low Pass Filter）高通滤波器（HPF）带通滤波器（BPF）带阻滤波器（BSF）

例2-3某理想LPF的频率特性如图2-14所示。 其中

（1）求滤波器的单位冲激响应h(t)。

（2）求系统在f(t) = 5cos2πt +cos12πt作用下的输出响应y(t)。

（3）为使上述信号通过滤波器后不失真，该如何调整滤波器的参数？

解

由于输入信号中的两个分量分别位于低通滤波器的通带和阻带内，因此只有低频分量能够通过低通滤波器，从而使得输入输出信号的波形有失真。 为避免失真，应该使输入信号中的两个分量都位于滤波器的通带内。 因此，应将滤波器的截止频率c增大，并使之满足c >12 rad/s，即滤波器的带宽至少应增大到6Hz。

希尔伯特滤波器

希尔伯特（Hilbert）滤波器是一个宽带移相网络，其幅频特性具有全通特性，相频特性对输入信号中的所有频率分量都移相-π/2。

2.4 信道及其特性

4.1 信道的分类

信道的分类

有线信道、无线信道；

模拟信道、数字信道；

调制信道、编码信道

4.2 信道的数学模型

调制信道

至少有一个输入端和一个输出端；

大多数的调制信道都是线性的，可以视为一个滤波器；

传输过程中会有延迟和衰减；

传输过程中会引入噪声，使得输入端没有信号时，信道的输出端仍会有输出噪声。

编码信道

传输过程可以认为是对数字序列的变换，即把一种数字序列变成另一种数字序列。 因此编码信道是一种数字信道。

信号传输过程中，各种噪声对编码信道的影响，最终表现为数字序列的变化。 由于干扰的存在，编码器输出数字代码序列通过信道传送到译码器时，将使得译码输出代码序列发生错误。

4.3 信道特性对传输的影响

根据乘性干扰的性质，可以将调制信道分为恒参信道和随参信道。

恒参信道的乘性干扰不随时间变化或基本不变化，

随参信道的乘性干扰是随机变化的。

典型的恒参信道包括有线信道和部分无线信道。

由信道幅频特性不理想而造成的失真称为幅频失真。如果用这种信道传输数字信号，将会引起相邻码元波形在时间上的相互重叠，造成码间干扰。如果信道不具有理想的群延迟特性，将使得信号中的各分量有不同的延迟，从而引起合成波形发生畸变。这种由信道相频特性不理想造成的失真称为相频失真。

5 噪声

5.1 噪声的来源及分类

噪声的来源及分类

根据对信号产生作用和影响的方式，噪声可以分为加性噪声和乘性噪声。

乘性噪声对信号的影响是以相乘的形式出现，而加性噪声与信号呈叠加关系。

通过对通信系统的精心设计，有些噪声可以消除或者得到衰减。但仍有一些噪声由于无法确切地预测其波形，所以无法消除其对有用信号传输的影响。这种不能预测的噪声统称为随机噪声。

随机噪声主要有热噪声、散弹噪声以及宇宙噪声等。这类噪声大多属于加性噪声。

5.2 高斯噪声和白噪声

高斯噪声

高斯噪声在每个时刻的幅度瞬时值服从高斯分布，幅度概率密度函数可表示为：

白噪声与带限白噪声

白噪声的功率谱在整个频率范围为常数，即

白噪声通过带宽有限的通信系统或滤波器后，频带将受到限制，这种白噪声称为带限白噪声。

根据系统和滤波器特性的不同，典型的带限白噪声又分为低通型和带通型两种。

5.3 窄带高斯白噪声

时域和频域特性

带宽远小于中心频率（B << f0）；

幅度服从高斯分布；

功率谱密度在带宽范围内为常数，而在带外为0。

由于同相分量和正交分量具有相同的功率谱，因此其平均功率相同，即

窄带高斯白噪声与正弦波的叠加