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频域分析原理

频域分析最被大众所熟知的可能是卡拉OK的音频频谱显示，这里贴一个来自AVR单片机的项目，其中就用到了FFT来对语音信号进行分析：

视频中横坐标为频率，纵坐标为功率，而且能够实时的反映出语音的频谱。

FFT是DFT(离散傅里叶变换)的加速算法，最早是由Cooley和Tukey在1965年提出，这里面用了很多的技巧，其方向是如何减小计算过程中所需要的乘法运算，另外FFT一次可以计算N个点，而且随着N的增大，FFT优势就会非常明显。DFT复杂度(按乘法数量来计算)是，而FFT复杂度是，参考 .

这里简单的理解下DFT，假设我们有一个待测数字序列A（A序列是以fs采样的N点信号,采样间隔为ts），假设此序列中暗含一个频率为fa的正弦波信号，但是此暗含的信号幅度和相位我们并不知道是多少，现在我们的目标是求出此信号的的幅度和相位信息。

我们可以使用信号相关来解决此问题，构造2个频率均为fa，幅度均为1的正弦和余弦序列B和C，然后用这两个序列分别和A序列相乘，然后滤波，最后输出的两个信号就可以求出幅度和相位，假设A序列中含有非fa频率的信号，相乘滤波后幅度为0，表示此序列中的非fa频率信号都将被滤除，最后结果就只有和fa频率相关信号被保留下来。

使用公式描述即：

A信号序列为：

B信号序列为:

C信号序列为:

则两个输出且滤波(信号求平均)后的结果是：

通过这两个信号就可以求出X[i]中所含fa信号的幅度和相位：

式中，当i=N时，正弦信号和余弦信号相位需要是的整数倍，这样滤波器刚刚好将其他频率的信号完全滤除掉，也就是说不会出现频谱泄露，所以有：将上式改写如下：若进行N点的DFT计算，只要满足上式了，就可以保证在第k个频率点出现信号，而不会在DFT中出现频谱泄露问题。

程序验证

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 2% Edited by bbl
 3% Date: 2021-10-31(yyyy-mm-dd)
 4% FFT计算
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 6fa   = 200.1953125e6;     % 信号频率，不出现频谱混叠
 7% fa   = 200e6;             % 信号频率，出现频谱混叠
 8A0   = 1;                 % 信号幅度
 9fs   = 1e9;               % 采样率
10Nfft = 1024;              % FFT点数
11wa   = 2*pi*fa;
12ts   = 1/fs;
13t    = 0:ts:ts*(Nfft-1);   % 构造时间序列
14Vn   = 1e-3*randn(1,Nfft); % 构造噪声
15y    = A0*sin(wa*t)+Vn;    % 构造信号序列，加入了噪声方便观察
16X    = fft(y, Nfft);       % 计算FFT
17Amp  = 2*abs(X)/Nfft;      % 计算幅度
18Amp_log = 20*log10(Amp);   % 幅度转换为dB
19f    = linspace(0, fs/2, Nfft/2+1)*1e-6;
20plot(f, Amp_log(1:Nfft/2+1), '-r', 'LineWidth', 1);
21grid on;
22ylim([-100,10]);
23ylabel('Amp/dBFS');
24xlabel('freq/MHz');
25title(sprintf('FFT, fs=%0.2fM Hz, fa=%0.8fM Hz', fs*1e-6,fa*1e-6));