一文读懂FFT

FFT--快速傅里叶变换

如果说改变世界必须了解的算法，那么FFT绝对占一席之位。

理论介绍 & 工程应用

理论介绍

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傅里叶变换与离散傅里叶变换

傅里叶变换公式是基于连续定义的，但是在我们的计算机对数据的处理都是离散的，所以必须对傅里叶变换进行离散化，进而有了离散傅里叶变换。

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快速傅里叶变换

快速傅立叶变换（FFT）是离散傅立叶(DFT)的快速算法，它是根据离散傅立叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅立叶变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。

FFT是基于DFT的一种算法，目的是为了加快DFT的计算速度。当采样点N=65536=2^16，DFT的计算量约是FFT的4096倍。

FFT典型的时域2分裂算法图示如下：

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物理意义

任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。

因此对于一个时域信号进行采样，经FFT运算处理后可以得到该信号的频谱图（频率及对应的幅值），基于频谱图我们可以设计特定的滤波器来滤除特定频率的噪声，从而让原信号更加真实的显示出来。如飞控设计过程中，对陀螺仪/加速度信号进行频谱分析，滤除机架振动的噪声频率，从而可以降低机架振动对姿态解算、飞机控制的影响。

工程应用

编程原理

FFT计算的快速性简单来讲就是数学家利用上面提到的旋转因子W的周期性，对称性等性质进行公式化简。在算法编程中则是不断利用已经计算过的点来算新的点，即：旧点算新点。

FFT中的采样序列经拆分抽取成很多的蝶形图，对于N=8的时间抽取如下：

以上的拆分提取，可以称之为码位倒序，倒序获得的序列便为我们蝶形计算的初始序列，如下图的左边一列：

将上图大的蝴蝶组，拆分想象成一个个的蝴蝶并联及串联组成，单个蝴蝶计算如下：

后面的蝴蝶使用前面蝴蝶的计算后的节点，从而旧点算新点，循环计算多层，便可得到最后的频谱数列。

码位倒序及蝴蝶图的编程实现可知乎查找《C语言系列之FFT算法实现》，推导与编程实现讲的非常详细。

结果分析

虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。

由DFT公式可知，使用的输入值是经过ADC后的采样值（采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍），输入采样点的数量N决定了转换的计算规模。

N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方（参见FFT原理）。FFT运算量：Nlog2N（2为对数的底）。

变换后的频谱输出包含同样数量的采样点N，但是其中有一半的值是冗余的，通常不会显示在频谱中，所以真正有用的信息是N/2+1个点（依据采样定理）。

工程应用分析

假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。

纵坐标--幅值

假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。

横坐标--频率

第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。

由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数N为1024点，则可以分辨到1Hz。

如果采样N为2048点，则结果可以分辨到0.5Hz。

如果要提高频率分辨力，则必须增加 采样点数 ，也即 采样时间（总采样计算周期） 。但这在一些实际的应用中是不现实的，有些需要在较短的时间内完成分析。

举个栗子

假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为0.5371Hz、幅度为73V的交流分量，以及一个频率为1.025Hz、幅度为50V的交流分量。

用数学表达式就是如下：

S=2+73sin(2pi0.5371t)+50sin(2pi1.025t)

我们以50Hz的采样率对这个信号进行采样，采样点N（1024）进行FFT运算。

按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个

点之间的间距就是50/1024Hz。我们的信号有3个频率，在频率点上出现峰值，其它各点应该 接近0（离散点的FT频谱是连续的，而DFT只是做了连续频谱的采样） 。

运算结果如下：