什么是FFT分析的负频率

通常我们分析的信号是一个纯实数信号，没有虚部。经典的例子当然是用正弦波。当我们用傅立叶变换分析，通常是FFT算法，分析信号时，绝大多数人都知道我们将得到的频率结果位于0Hz到奈奎斯特频率（采样频率的一半）之间。同时也明白相应的FFT输出结果是复数形式，因此可以用幅值和相位形式或实部和虚部形式表示。

出于解释目的，假设我们使用的正弦波的频率为128Hz，幅值为5，初相位为60度。信号的开始部分如图1所示。现在假设我们以1024个样本点每秒的速率对这个信号采集了4s的数据。显然，这些样本点稍微人为地作了些选择，为了避免截取成非周期信号，并且要确保信号的频率正好与FFT的某一条谱线重合。

对这个信号进行常规的FFT计算，得到幅值和相位形式的结果如图2所示。

图2 FFT的半谱

注意到计算得到的幅值是2.5，刚好是原信号幅值的一半。这从数学上是正常的，将在后面进行说明。然而，一些商业软件给出的结果幅值是5，这是因为这些软件自动对FFT结果进行加倍。我们也注意到相位是-30度，但我们开始使用的正弦波的初相位是60度。但这-30度却是正确的，这是因为FFT是用余弦定义实部，正弦定义虚部。因此，FFT的0度，用作余弦波在正峰开始时的参考。因此，初相位为60度的正弦波与初相位为-30度的余弦波是相同的。

从数学上，有

sin(60)=sin(90-30) =sin(90)cos(-30)+cos(90)sin(-30)=cos(-30)

展示的频率范围0到奈奎斯特频率经常被称作半范围的傅立叶变换。这是一个全范围的变换，我们可以选择的范围从0至采样频率，或者从负奈奎斯特频率到正奈奎斯特频率（-采样频率/2至+采样频率/2）。后一种形式实际上更易于解释，同时包含了负频率的概念，这似乎初看起来更直观。实际上的确非常直观，让我们回顾一下基本知识。

按常规，正旋转是按逆时针方向。如果我们观察一个向量的端点以角频率ω旋转，那么相应的轨迹为正弦波Asinωt=Asin2**π ft 。 波形的过去和未来为图所示。

图3 逆时针方向旋转的向量

假设我们现在观察相同的设置，但现在这个向量按顺时针方向旋转。

图4 顺时针方向旋转的向量

两个波形实际上是相同的。因此，如果我们测量这个正弦波，我们不知道波形何时开始，我们也不能确定它是否是顺时针方向还是逆时针方向。实际上，正频率相当于逆时针方向旋转，负频率相当于顺时针方向旋转。由测量到的实数信号，我们不同区分出正负频率。

图5 全范围的FFT

假设现在我们要对相同的正弦波进行一个从-采样频率/2至+采样频率/2有全范围的FFT计算。给出结果如图5所示。这有两个分量，二者的幅值为2.5，但一个是负频率-128，相位为+30度，另一个为+128Hz，相位为-30度。这二者组合得到了开始时的正弦波。对于一个纯实数信号而言，负频率的幅值是正频率幅值的镜像，而相位镜像成负值。因为我们能从正频率部分完全预测出负频率部分的幅值和相位，因而，没有必要去计算负频率，因为它们并不包含更多的信息。

从数学公式上用幅值 A ，相位 ɷ ，描述一个信号

Ae ^iɷ^ =A(cos ɷ +isinɷ)，而ɷ=2πf+θ

因此，我们有正频率成分

Acos (2πf-30)+i Asin (2πf-30)

和负频率成分

Acos (-2πf+30)+i Asin (-2πf+30)

因此，整个信号有

Acos (2πf-30)+i Asin (2πf-30)+ Acos

(-2πf+30)+i Asin (-2πf+30)

我们记得

cos (-ɷ)= cos (ɷ)

sin(-ɷ)=-sin(ɷ)

因此，我们可以将负频率成分写成

Acos (2πf-30)-i Asin (2πf-30)

将信号的整个表达示进行化简，得到

2Acos (2πf-30)=2Asin (2πf+30)

这表明，信号的相位与正频率成分的相位相同，幅值2倍于正频率成分的幅值。