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硬件加法器怎么利用基础门电路进行加法计算呢?

冬至子 来源:科岩成果 作者:科岩 2023-05-30 16:17 次阅读

我们现在知道,「通电」代表「真」,用逻辑1表示;「不通电」代表「假」,用逻辑0表示。「与门」电路是用晶体管搭建的,符号长这样:

图片

A与B的通断,可以决定Y点是否通电。

我们还为A、B与Y之间的关系画了一张表(真值表):

图片

接着我们设计出了简单的「或门」「非门」,用它们可以搭建各式各样其他的门电路。

这篇文章讲一下,怎么利用基础门电路进行加法计算。

二进制加法

我已经忘了是什么时候学的加法了,应该是小学吧,先学10以内的,再学100以内的,然后不管多大的数都可以随便加了,算式很简单,就是逢10进1。

下面这个式子是一个万以内的加法:

图片

相应的,二进制就是逢2进1,下面这个式子是2个8位二进制数的加法计算:

图片

半加器

8位二进制数还太复杂,我们先来看看1位二进制数怎么计算的,一共有以下4种情况:

图片

观察一下就能发现2个规律。

第一个规律,只考虑加法,不考虑进位时,加数与和之间的关系如下:

图片

相同为0,不同为1。这个关系和「异或门」是相同的:

图片

异或门我们之前没有聊到过,电路图长这样:

图片

第二个规律是,如果只考虑进位,不考虑加法,加数与进位之间的关系如下:

图片

只有全1时,才为1。发现了吗,这和本文开头与门的真值表是一样的。

2个一位二进制数相加将产生一个加法位和一个进位位,加法位输入与输出的关系跟与门是一样的,进位位跟异或门相同。

所以,可以像这样把两个门电路连起来,计算2个二进制数(A和B)的和:

图片

我们称这个电路为「半加器」,因为它只能计算2个一位二进制数的加法,没有办法将前面加法可能产生的进位纳入下一次计算中,如果有进位则实际上是需要3个加数参与计算。

用门电路画太复杂,可以封装起来这样表示半加器:

图片

全加器

怎样计算3个加数的二进制加法呢?需要将2个半加器和一个或门如图连接起来:

图片

左边能看到它有3个输入,右边依旧是1位加和输出,1位进位输出。

2个数的加和与上一次的进位相加,得出的加和作为3个数最终的加和;2个数相加或3个数相加的进位作为3个数加和最终的进位位。

用文字描述有点不好理解,把这个电路图全部输入和输出情况都展示出来,画一个表就明白了:

图片

很明显,这个表就是2个一位二进制数带进位的全部状态。

每次做加法时画2个半加器和一个或门很麻烦,我们用下面这个图示把它们封装起来,这个能计算3位二进制数加法的电路就称为「全加器」。

图片

加法器

现在回到开头那个二进制加法:

图片

它有8个二进制位,到目前为止我们还只能计算2个一位二进制数,最多再增加一个进位的加法,我们最终的目标当然是2个8位、16位乃至32位数的加法。

其实,非常简单,用8个全加器一块算!

把8个全加器每个进位输出作为下一个的进位输入,首尾相连就可以啦!

图片

每次这样画太麻烦,可以封装成一个框图:

图片

大箭头代表8个输入/输出端,有8个独立的信号

一旦我们拥有了8位二进制加法器,把它们级联起来,很容易就能得到一个16位或32位的加法器啦。

图片

end

加法计算是计算机的基本运算,其实,计算机唯一的工作就是做加法计算。 不论是减法、乘法、除法、在线支付、火箭升空还是AI下棋,都是利用加法实现的。

把加减乘除和逻辑运算等运算单元集成起来,就组成了CPU中的基本计算单元:ALU(算术逻辑单元Arithmetic and Logic Unit)。

用加法器计算2个数的加法其实就是用硬件方式实现了一个加法计算器,输入A和输入B的高低电平决定了输出S和CO的高低电平。

这样的电路同一时刻只能表示一种状态,只要改变了A、B中任意一位,输出就会有所变化。

现在我们想计算更多二进制数的加法,比如5个数A、B、C、D、E的加法(先不考虑进位)。

步骤应该是这样:首先把A、B作为输入,得出一个输出S1,我们要记下来S1的值,然后把S1和C作为输入,得出S2....以此类推,要记下很多个数,然后再用加法器计算。

5个数都已经很麻烦了,如果要计算更多个数该怎么办?能不能把每次计算完的结果存起来,下次继续使用呢?

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