最优控制、模糊控制、神经网络和PID控制，哪种控制方法最好？

控制系统设计人员始终追求的就是为应用找到最佳的控制方法。除了经典的PID控制外，本文还探讨了最优控制、模糊控制和人工神经网络控制。

每一个控制系统的用户/设计人员，都经常会被问到同一个问题：哪种控制方法最好。现在，比几十年前有了更多的选择，控制方法的问题尤为重要。很久以前，“黄金”解决方案（实际上是唯一的）是比例-积分-微分（PID）控制器。虽然PID控制本身没有什么问题，但实际存在的限制使其它控制方法在许多应用中更受欢迎。现在，还有哪些控制方法可供选择？

除了经典的PID控制外，本文还研究了最优控制、模糊控制和人工神经网络（或基于神经网络的控制）。在工厂应用的受控系统分析中，可以看到经典PID控制器的局限性。虽然可以有很多应用领域，但本文分析聚焦于位置伺服机构，此类装置广泛应用于工业机器人、自动驾驶车辆和许多其它（不仅是在工业领域）应用。

01

位置伺服系统识别

如果受控系统是基于恒定励磁（例如永磁体）的直流电机的伺服机构，则可以通过简化的传递函数来描述，在s域中电压的角位移为：

其中：K代表电机扭矩常数；T代表电机的机械参数：J/B，其中J是包括负载在内的总惯性，B表示电机阻尼；Ti代表积分常数（由电机转速和传动比确定）。

上面的传递函数代表与积分器组合的一阶系统。理论上，还有另一个一阶、低通滤波器，其时间常数等于电机绕组电感和电阻的比值；这个时间常数明显小于主时间常数T，因此不必考虑它。

如果您是电机用户，而不是电机设计师，那么通过实验测量其在开环中的响应来找到（主）时间常数可能会更简单。为此，向伺服系统施加一定的驱动变量（电压，VIN），例如，相当于最大伺服速度的50%。伺服系统负载必须是正常工作条件下的满载。扫描伺服机构的位置响应，并在其到达最大位置之前将其关闭。可能产生的测量值如图1所示。

▲图1：控制系统设计图展示了开环伺服系统的响应特性。

根据上述特性，并通过输入值（例如，对应于最大伺服速度50%的阶跃函数VIN），确定典型伺服系统的一阶非静态（积分器与一阶滞后相结合）传递函数的T和Ti常数。伺服电机和伺服驱动运动控制系统，可以使用下述的各种闭环控制，包括方程、案例、图形、表格。

02

如何应用PID控制器？

PID补偿是最常见的闭环控制形式之一。为什么它如此受欢迎？在大多数应用中，受控过程可以通过一阶或二阶传递函数进行建模。PID控制器可以消除或至少显著补偿传递函数的两个极点。PID控制器在s域中的传递函数(U(s))/(E(s))可以表示如下：

现在，让我们假设一个受控系统，它可以用一阶非静态传递函数来近似表示：

控制系统的开环传递函数(Y(s))/(E(s)),等于

为什么使用PD而不是PID？首先，请注意，在完整的PID控制器中，积分部分是缺失的。为什么？因为积分器已经存在于受控的伺服系统中。在最佳调谐的控制系统中，比率KD /KP必须与τ1时间常数相匹配，因此开环传递函数将减小到：(KPK)/(sτ2)。理想调谐PD控制系统的闭环传递函数 (Y(s))/(R(s)),等于：

这对应于具有时间常数τ的单极传递函数，相当于τ2 /(KP K)，其中τ2是积分时间常数，KP是控制器的比例常数，K是受控系统的增益。然而，如果通过使用如图1所示的响应特性找到时间常数，则增益（即常数K）值变为1.0。则闭环传递函数时间常数τ等于τ2 /KP。这非常好，因为通过使ΚP足够大，可以从闭环控制系统获得更快的时间响应。实际上，“足够大”可以提供5到10倍的响应速度。KP值越高，反应越不稳定。记住，在近似的系统参数中，实际值肯定会不同。

然而，这种最佳调谐的P(I)D控制器有其缺点。观察P(I)D控制器的输出（驱动）变量：一开始它几乎达到极限值，然后迅速下降，但在相当长的一段时间内，仍远远高于这种受控系统（伺服机构）所能承受的水平。想象一下，伺服电机的运行电压为24V，最初获得的电压会高达数千伏，随后稳定在数百伏。没有控制器能够驱动如此高的电压，即使能驱动，电机也无法承受如此高的压力。因此，在控制器中添加限制器，可确保驱动变量不会超过受控系统（在这种情况下为直流电机）可接受的最大值。伺服机构的最终PID控制配置如图2所示。

▲图2：控制系统设计图展示了位置伺服系统的 PID 控制。

在本文的最后，会比较PID控制器与其它控制器的性能。具有无限驱动变量的最佳调谐PD控制器（即理想控制器），其输出特性如图8中黄色线所示；实际输出（驱动变量限于最大可接受值）则以红色线表示。

03

应用时间最优控制

几十年来，最优控制一直是广泛研究的主题。关于最优控制的一些基本观点值得回顾，我们可以用一个例子来更好地理解时间最优控制。

假设一个带有直流电机的常用电动伺服机构。手头的任务是控制伺服，使其在最短的时间内到达新的参考点。如果必须应用实际驱动变量，优化的PID控制器将无法实现这一目标。直觉反应是向直流电机施加最大可接受电压，并让电机全速前进。

然后，在某一时间点改变电压极性，使电机开始以最大可能的速度减速。稍后，当电机速度为零时，关闭电压。如果电压极性在合适的时点改变，那么，在电机停止运行的瞬间，伺服将准确地停在所需的位置。这被称为最优控制。在这种情况下，因为时间是该最优控制的标准，所以这种控制被称为时间最优控制。

04

查找开关曲线的形状

图3展示了在状态空间中的时间最优控制过程，在这种情况下，状态空间是二维空间（区域）；一个维度是输出变量，另一个维度则是其（时间的）导数。在应用新参考值时，输出变量沿水平轴移动，因此它代表调节误差（err），即参考值与实际输出值之间的差值。同时在t0时刻，向直流电机施加最大电压。伺服离开其初始位置P0，并开始加速。在时间点t1，控制器改变电压极性，电机速度很快开始下降。在时间点t2，电机速度变为零并且达到期望位置P2，驱动变量电压被关闭。虽然这看起来很简单，但获得开关曲线的形状并不是那么简单。

▲图3：控制系统设计图展示了状态空间中的时间最优控制。

如果受控系统是具有简化传递函数的伺服机构，则s域中电压的角位移为：

那么一个完整的、时间最优的控制系统可以用图4所示的框图表示。

该控制方案与PID控制完全不同。这是一种非线性控制，因为第二个非线性部分N2代表的是继电器：提供驱动变量±U值，所以这种控制被称为开关控制。N1是开关曲线的第一个非线性部分，调节误差E的“sqrt”平方根函数，提供了相当合理的结果。在实践中，总是很难找到精确的开关曲线，因此，控制器可能一直在其最大值和最小值之间切换驱动电压。为了避免这种情况的发生，需要为继电器增加死区。

在本文的最后，让我们看看与其它类型的控制器相比，这种时间最优控制器的性能如何。其输出变量函数以图8中亮蓝色线表示。

05

如何应用模糊控制？

模糊控制是另一种非线性控制方法，对于难以分析的受控系统，或在设计时动态行为未知的受控系统，它是非常好的解决方案。模糊控制可以与“次优”时间最优控制相比较（它可以提供比最优结果较差的结果），尽管它们仍然可以是非常好的。在这种具有位置伺服机构控制的特殊情况下，可以采用图5中的控制方案（图5）进行模糊控制。

▲图4：控制系统设计图展示了伺服机构的时间最优控制系统。

▲图5：控制系统设计图展示了伺服机构的模糊控制系统。

模糊控制可以看作是模糊逻辑的扩展或修改。第一阶段，模糊逻辑（在一个被称为模糊化的过程中）将“清晰”的输入变量转换为“模糊”的集合。第二阶段，它处理这些模糊集。最后，在一个被称为去模糊化的过程中，将处理后的模糊集转换为清晰的输出变量。

对于输入变量的模糊化，例如，选择一组lambda形状_/_的5个成员函数。为了使控制过程更好（更精细），在本文案例中使用了7个成员函数。它们涵盖了调节误差、误差及其导数和状态变量，这些变量值处于-1000到+1000之间。它们可以被称为：高负（HN），中等负（MN），低负（LN），小（S），低正（LP），中等正（MP）和高正（LP）。输出（驱动）变量模糊化，使用了7个类似的级别：全负（FN），中等负（MN），低负（LN），零（Z），低正（LP），中等正（MP）和全正（FP）。

▲图6：在控制系统设计中，参考模糊控制知识库很有帮助。

处理模糊集是模糊控制最关键的阶段。它由模糊控制知识库“控制”。图6展示了适用的知识库。注意err和der输入变量是如何量化的。它们的分布函数不是等距分布的；err成员函数被更多地“推向”中心（S），而der成员函数则被更多地推向最高值。为什么这种安排更好？检查知识库中的输出变量分布提供了答案。考察零（Z）级。它们的配置为：紧密地跟随误差的平方根函数err的输出，这是可能是对时间最优控制中使用的开关曲线的最佳仿真。接下来，看看与其它控制器相比，模糊控制器的性能如何，其输出变量的形状以图8中橙色线表示。

06

应用基于神经网络的控制

在控制系统中使用人工神经网络（ANN）有无数种可能性。其中，很多使用基于神经网络的受控系统（工厂）模型，或对其逆动态进行建模，与经典PID控制器相结合，有助于创建自适应和其它更复杂的控制系统。

通过训练这种神经网络，模拟位置伺服系统的开关曲线可以尝试一种不同的方法。正如之前所了解的，通过使用时间最优控制可以实现最快速的伺服机构运动。开关曲线最关键的一个方面，是使用调节误差的平方根函数。甚至是模糊控制器，也被“调谐”以模拟该平方根函数。

然而，由于实际开关曲线仍然可以与sqrt（）函数的近似值不同。有没有办法找到位置伺服机构的实际开关曲线？答案是肯定的。可以找到位置伺服机构的实际开关曲线，“训练”ANN记住它并按需生成它。更进一步，可以训练ANN来接管整个开关控制器。

开关曲线是关于[err，der]对值的序列，伺服电机驱动器对可施加到电机的额定（最大）电压进行极性转换。通过在开环中运行伺服机构（即无反馈），测量并记录其位置（err）和速度（der）来查找相应的值。

首先，准备一系列预期的伺服机构速度（der）值，从最低值到最高值。现在，将正的最大驱动变量（电压+U）施加到电机上，并让其运行，直到伺服机构达到该系列中的第一个预期der值。重要提示：记录与P1相同时刻的伺服位置，同时将执行变量转换为-U值。当der降至零时，关闭电压并将当前位置记录为P2。该过程提供了第一个开关曲线点的第一对[err，der]坐标（其中err=P2–P1）。当然，伺服机构必须完全按照预期使用的方式满载运行。

[err，der]坐标序列表示开关曲线点。为了获得最佳结果，沿der轴均匀分布大约50个坐标（对）。然后训练一个合适的神经网络，使用这些开关点将执行变量传送到伺服机构。即使是最简单的具有一个隐藏层和大约12个节点的ANN也可以实现这种功能。

图7展示了一个输出值表，可用于训练ANN控制器。在捕获开关曲线点之后，需要离线训练ANN控制器，即不直接在物理控制系统实体上进行训练。从捕获的坐标序列的底部（或顶部）开始，对于每个单独的der输入，您需要生成多个err值（从-max到+max），并向[err，der]坐标的每个组合提供（到ANN输出）特定的输出值。开关曲线的所有输出值对应负的最大驱动值；开关曲线右侧的所有输出值对应为正的最大值。误差坐标离开关曲线越远，需要提供的±U值就越少，因为输出曲线保持平坦。

▲图7：这个简单的人工神经网络训练数据表，有助于 ANN 控制系统的设计。

此训练数据表与模糊系统的知识库非常相似。起初，只使用状态空间的上半部分来训练ANN控制器。当伺服必须沿相反方向移动时，ANN控制器将仅交换输出值。然而，如果伺服系统在两个运动方向上的行为不相同，则必须在整个状态空间内，对ANN控制器进行行为训练。基于神经网络的控制系统如何与其它系统竞争？可查看其输出变量的形状，如图8中白色线展示。

07

四种控制方法的比较

使用Python的屏幕截图（图8）展示了模拟伺服机构及其控制器的结果。伺服机构的传递函数近似为1/((1+s100)s200)，其中时间常数以样本数表示。阶跃函数（期望的伺服系统位置）是从0到800（其中1000是期望位置和驱动变量的最大值）生成的，在1000个样本之后，它从800下降到400。输入阶跃函数在图8中以绿色线表示。

图8还展示了各个控制系统的运行情况。第一个是最佳调谐的PD控制器，它对阶跃函数做出即时反应。它的KP参数设置为5。但这实际上只是一个理想的PD控制。这些实际最佳调谐PD控制器具有有限驱动变量，其行为如红色曲线所示。与其它控制器相比，它实际上是表现最差（最慢）的。然而，如果调整得当，它不会超调，这在某些应用中可能非常重要。

▲图8：此图比较了不同的控制方法，以帮助确定应用的最佳状态。包括最优控制（蓝色线）、模糊控制（橙色线）、人工神经网络（白色线）和 PID 控制（黄色和红色线）。

表现最好（最快）的控制器是基于ANN的控制器（如白色曲线所示）。这并不奇怪；神经网络经过训练，可以模拟精确的开关曲线，因此它表现为一个完美的、时间最优的控制系统。

通过sqrt（e）函数来模拟开关曲线的经典时间最优控制器（蓝色线）表现稍差（较慢）。不过，考虑到其实施非常简单，因此不应对其性能有太多抱怨。

在这种特殊情况下，模糊控制器（橙色线）表现不佳。不过，它没有调整到最佳性能（仅进行了初始调整以大致模拟开关曲线），因此其性能有进一步提高的空间。理论上，模糊控制器的性能不应比经典的时间最优控制器差。

这个特定案例验证了神经网络在工业控制中的应用。然而，如果系统“在运行中”改变行为/参数，则需要一个更能容忍这种变化的控制器。容差是模糊控制器的亮点。最令人惊讶的发现之一是：50多年前在大学里学习的经典时间最优控制器（基于sqrt（）函数），仍然可以很好地运行。

审核编辑 ：李倩