00 Eigen简介
Eigen:基于线性代数的C ++模板库,主要用于矩阵,向量,数值求解器和相关算法。SLAM中常用的Ceres、G2O等项目均是基于Eigen库。
Eigen库的优点:
支持整数、浮点数、复数,使用模板编程,可以为特殊的数据结构提供矩阵操作。
OpenCV自带到Eigen的接口。
支持逐元素、分块、和整体的矩阵操作。
支持使用Intel MKL加速部分功能。
支持多线程,对稀疏矩阵支持良好。
支持常用几何运算,包括旋转矩阵、四元数、矩阵变换、角轴等等。
即使不做SLAM,在3D视觉中,当处理大量数学运算时,我们也会用到Eigen库,它帮我们优化了性能。在安装完成Eigen库后,开始接下来的学习。
01 数据类型
Eigen库的核心类是Matrix,由6个参数构成:
Matrix< typename Scalar, int RowsAtCompileTime, int ColsAtCompileTime, int Options = 0, // 默认(无需更改) int MaxRowsAtCompileTime = RowsAtCompileTime, // 默认(最大行数,提前知道极限) int MaxColsAtCompileTime = ColsAtCompileTime // 默认(最大列数,提前知道极限) >
其中:
前三个参数:需要我们指定
后三个参数:默认即可,无需指定
因为经常需要实例化一些方阵、向量,因此Eigen库也提供了很多直接使用的模板(利用C++的关键字:typedef),例如Matrix4f是的float型矩阵:
typedefMatrixMatrix4f;
还有例如列向量:Vector3f,其本质也是Matrix类:
typedefMatrix< float, 3, 1 >Vector3f;
行向量RowVector:
typedefMatrixRowVector2i;
静态-动态-矩阵
静态矩阵:矩阵是静态的,即编译时候就知道运行结果,例如Matrix3d:表示元素类型为double大小为3*3的矩阵变量,其大小在编译时就知道。
动态矩阵:有时候运行完之后,才可以知道,这里使用MatrixXd:表示任意大小的元素类型为double的矩阵变量,其大小只有在运行被赋值之后才能知道;
数据类型
Eigen中的矩阵类型一般都是用类似MatrixNX来表示,可以根据该名字来判断其大小(2,3,4,或X,意思Dynamic)和数据类型,比如:
d:表示double类型
f:表示float类型
i:表示整数
c:表示复数;
举例:Matrix2f,表示的是一个维的,其每个元素都是float类型。
02 新建矩阵
矩阵构造
默认构造,分配了大小和内存空间,但没有初始化矩阵元素(里面的数值是随机的,不能使用):
Matrix3fa;// 3*3的元素,其中还有一个float[9]数组,其中的元素没有初始化; MatrixXfb;//动态大小的矩阵,目前的大小是0*0,它的元素数组完全没有分配。
对于动态数组,你也可以直接分配大小(失去作用了),同样没有初始化矩阵元素:
MatrixXfa(10,15);// 10x15动态矩阵,数组内存已经分配,但是没有初始化; VectorXfb(30);//大小为30的向量,数组内存已经分配,但是元素没有初始化。
或者更通用的:
Matrix< float, 3, 1 >Vector3f_def;
矩阵初始化
在构造完后,我们需要对元素进行初始化,常用的是直接赋值:
Eigen::Matrix3fm; m<< 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
它是逐行写入的,这只适用于较小的矩阵:
Eigen::MatrixXdm(3,3); m<<1,2,3, 4,5,6, 7,8,9;
对于向量,还可以在构造的时候初始化:
Vector3dv(1,2,3); Vector3dw(1,0,0);
还有一些特殊函数,函数:
MatrixXf::Zero(3,4);//将矩阵3行4列初始化为0 MatrixXf::Ones(3,3);//将矩阵3行3列初始化为1 Vector3f::Ones();//将3行的纵向量初始化为1 MatrixXi::Identity(3,3);//单位矩阵 Matrix3d::Random();//随机矩阵
03 矩阵索引
当前矩阵的行数、列数、大小可以通过rows()、cols()和size()来获取。遍历Eigen矩阵时最好通过rows和cols来限制访问范围,索引的方法如下:
1、矩阵访问按照先行索引、后列索引方式进行,索引下标从0开始(与Matlab不同);
2、矩阵元素的访问可以通过**”( )”操作符完成。例如m(2, 3)**,矩阵m的第2行第3列元素;
3、针对向量还提供”**[ ]”操作符,注意矩阵则不可**如此使用。
resize:不同于matlab、Python,对于动态矩阵虽然可以通过resize()函数来动态修改矩阵的大小,但是需要说明的是,在Eigen中:
不能用:固定大小的矩阵是不能使用resize()来修改矩阵的大小;
数据会变:resize()函数会析构掉原来的数据,变为0.,因此最好使用:conservativeResize()函数
大小修改:使用”=”操作符操作动态矩阵时,如果左右两边的矩阵大小不等,则左边的动态矩阵的大小会被修改为右边的大小。
利用block()函数,可以从Matrix中取出一个小矩阵来进行处理,使用的语法为:
matrix.block(i,j);
例如:
Eigen::MatrixXfm(4,4); m<< 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16; cout << "Block in the middle" << endl; cout << m.block<2, 2>(1,1)<< endl << endl; for (int i = 1; i <= 3; ++i) { cout << "Block of size " << i << "x" << i << endl; cout << m.block(0, 0, i, i) << endl << endl; } // Output is: // Block in the middle // 6 7 // 10 11 // Block of size 1x1 // 1 // Block of size 2x2 // 1 2 // 5 6 // Block of size 3x3 // 1 2 3 // 5 6 7 // 9 10 11
单独的列和行是块的特殊情况。Eigen提供了可以轻松解决它们的方法:.col()和.row():
Eigen::MatrixXim(2,2); m<< 1, 2, 3, 4; cout << m.col(0) << endl; // 1 3
04 数学运算
4.1 加减法
Eigen帮我们重载了,直接运算:
Vector3dv(1,2,3); Vector3dw(1,0,0); cout<< v + w << endl;
4.2 乘除法
除法:通常我们是除以标量。对于矩阵除法,我们是求它的逆,再转换为矩阵乘法。因此较为简单:
Vector3dv(1,2,3); Vector3dr=v/3; cout<< r << endl;
矩阵乘法:*
乘法,标量非常简单:
cout<< v * 2 << endl; v *= 2; // 原地操作
Matrix2dmat; mat<< 1, 2, 3, 4; Vector2d u(-1, 1), v(2, 0); // 矩阵乘法 乘以矩阵 std::cout << "Here is mat*mat: " << mat * mat << std::endl; // 矩阵乘法 乘以向量 std::cout << "Here is mat*u: " << mat * u << std::endl; // 转置之后,再矩阵乘法 std::cout << "Here is u^T*mat: " << u.transpose() * mat << std::endl; // 转置之后,向量的矩阵乘法 std::cout << "Here is u^T*v: " << u.transpose() * v << std::endl; std::cout << "Here is u*v^T: " << u * v.transpose() << std::endl; // 矩阵乘法 std::cout << "Let's multiply mat by itself" << std::endl; mat = mat * mat; std::cout << "Now mat is mat: " << mat << std::endl; //Output is: // Here is mat*mat: // 7 10 // 15 22 // Here is mat*u: // 1 // 1 // Here is u^T*mat: // 2 2 // Here is u^T*v: // -2 // Here is u*v^T: // -2 -0 // 2 0 // Let's multiply mat by itself // Now mat is mat: // 7 10 // 15 22
补充:转置
向量、矩阵的乘法,因为需要size一致,因此需要用到转置:
MatrixXcfa=MatrixXcf::Random(2,2);//MatrixXcf为复数矩阵 cout<< "Here is the matrix a " << a << endl; // 矩阵转置 cout << "Here is the matrix a^T " << a.transpose() << endl; // 共轭矩阵 cout << "Here is the conjugate of a " << a.conjugate() << endl; // 共轭转置矩阵 cout << "Here is the matrix a^* " << a.adjoint() << endl;
需要说明的是,在Eigen中,对于自身的操作,都有专门的函数,例如对自身的转置:
a.transposeInPlace();//直接在a上操作
点乘和叉乘
Vector3dv(1,2,3); Vector3dw(0,1,2); //点乘 cout<< "Dot product: " << v.dot(w) << endl; // 叉乘 cout << "Cross product: " << v.cross(w) << endl; // 点成结果 Dot product: 8 // 1 * 0 + 2 * 1 + 3 * 2=8 Cross product: 1 // 2 * 2 - 1 * 3 = 1 -2 // 3 * 0 - 1 * 2 = -2 1 // 1 * 1 - 0 * 2 = 1
在Eigen中,向量的叉乘只支持三维的向量,这是因为叉乘通常用于计算方向、夹角等,它的计算规则如下:
4.3 特征运算
//Eigenalsoprovidessomereductionoperationstoreduceagivenmatrixorvectortoasinglevalue //suchasthesum(computedbysum()),product(prod()),orthemaximum(maxCoeff())andminimum(minCoeff())ofallitscoefficients. Eigen::Matrix2dmat; mat<< 1, 2, 3, 4; //元素和,元素乘积,元素均值,最小系数,最大系数,踪 cout << "Here is mat.sum(): " << mat.sum() << endl; cout << "Here is mat.prod(): " << mat.prod() << endl; cout << "Here is mat.mean(): " << mat.mean() << endl; cout << "Here is mat.minCoeff(): " << mat.minCoeff() << endl; cout << "Here is mat.maxCoeff(): " << mat.maxCoeff() << endl; cout << "Here is mat.trace(): " << mat.trace() << endl; // 可以返回元素位置 Matrix3f m = Matrix3f::Random(); std::ptrdiff_t i, j; // std::ptrdiff_t 是二个指针相减结果的有符号整数类型 float minOfM = m.minCoeff(&i, &j); cout << "Here is the matrix m: " << m << endl; cout << "Its minimum coefficient (" << minOfM << ") is at position (" << i << "," << j << ") "; RowVector4i v = RowVector4i::Random(); int maxOfV = v.maxCoeff(&i); cout << "Here is the vector v: " << v << endl; cout << "Its maximum coefficient (" << maxOfV << ") is at position " << i << endl; // Output is: // Here is mat.sum(): 10 // Here is mat.prod(): 24 // Here is mat.mean(): 2.5 // Here is mat.minCoeff(): 1 // Here is mat.maxCoeff(): 4 // Here is mat.trace(): 5 // Here is the matrix m: // -0.444451 0.257742 0.904459 // 0.10794 -0.270431 0.83239 // -0.0452059 0.0268018 0.271423 // Its minimum coefficient (-0.444451) is at position (0,0)
05 通用数组
Array类提供了通用数组。此外,Array类提供了一种执行逐系数运算的简便方法,该运算可能没有线性代数含义,例如将常数添加到数组中的每个系数或按系数乘两个数组。
注:Eigen计算三角函数等,Matrix并不支持,需要通过.array()转换到Array类,再计算!
m1.array().atan();
常见数据类型
ArrayArrayXf Array Array3f Array ArrayXXd Array Array
常见操作:
//逐元素操作Vectorizedoperationsoneachelementindependently //Eigen//Matlab//注释 R=P.cwiseProduct(Q);//R=P.*Q//逐元素乘法 R=P.array()*s.array();//R=P.*s//逐元素乘法(s为标量) R=P.cwiseQuotient(Q);//R=P./Q//逐元素除法 R=P.array()/Q.array();//R=P./Q//逐元素除法 R=P.array()+s.array();//R=P+s//逐元素加法(s为标量) R=P.array()-s.array();//R=P-s//逐元素减法(s为标量) R.array()+=s;//R=R+s//逐元素加法(s为标量) R.array()-=s;//R=R-s//逐元素减法(s为标量) R.array()< Q.array(); // R < Q //逐元素比较运算 R.array() <= Q.array(); // R <= Q //逐元素比较运算 R.cwiseInverse(); // 1 ./ P //逐元素取倒数 R.array().inverse(); // 1 ./ P //逐元素取倒数 R.array().sin() // sin(P) //逐元素计算正弦函数 R.array().cos() // cos(P) //逐元素计算余弦函数 R.array().pow(s) // P .^ s //逐元素计算幂函数 R.array().square() // P .^ 2 //逐元素计算平方 R.array().cube() // P .^ 3 //逐元素计算立方 R.cwiseSqrt() // sqrt(P) //逐元素计算平方根 R.array().sqrt() // sqrt(P) //逐元素计算平方根 R.array().exp() // exp(P) //逐元素计算指数函数 R.array().log() // log(P) //逐元素计算对数函数 R.cwiseMax(P) // max(R, P) //逐元素计算R和P的最大值 R.array().max(P.array()) // max(R, P) //逐元素计算R和P的最大值 R.cwiseMin(P) // min(R, P) //逐元素计算R和P的最小值 R.array().min(P.array()) // min(R, P) //逐元素计算R和P的最小值 R.cwiseAbs(P) // abs(P) //逐元素计算R和P的绝对值 R.array().abs() // abs(P) //逐元素计算绝对值 R.cwiseAbs2() // abs(P.^2) //逐元素计算平方 R.array().abs2() // abs(P.^2) //逐元素计算平方 (R.array() < s).select(P,Q); // (R < s ? P : Q) //根据R的元素值是否小于s,选择P和Q的对应元素 R = (Q.array()==0).select(P,A) // R(Q==0) = P(Q==0) R(Q!=0) = P(Q!=0) //根据Q中元素等于零的位置选择P中元素 R = P.unaryExpr(ptr_fun(func)) // R = arrayfun(func, P) // 对P中的每个元素应用func函数
06 更多操作
对于Eigen,它适合一个简单的数值计算库,并没有什么实用技巧。其实大多数时候,你只需要利用Google和百度去查询你需要的操作即可!对于更多的操作,可以参考:Eigen 常用函数查询,对比MatLab操作 。
责任编辑:彭菁
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