从惯导系统到相对论

惯性导航系统（Inertial Navigation System，Ins），顾名思义，是利用惯性定律，来进行位姿推算的导航系统。其基本原理是：通过对加速度进行积分，算得速度，再对速度进行积分，来计算位置。应用该技术的场景，上至云霄，下至沧海，军用的航天、导弹、潜艇是最早的应用领域，民用的无人机、机器人，到如今很火的无人驾驶，也都离不开惯导系统。

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Bug奇遇记

故事的开始要从惯导系统的重要组件IMU说起，即惯性测量单元（Inertial Measurement Unit，IMU）。它的功能说来简单，就是测量角速度和线加速度，这两个量都有XYZ三个方向的分量，所以IMU的输出就是 2x3 = 6个数字。

笔者最近有幸在开发一款IMU传感器的驱动程序，写完代码过后，自然想要去确认下刚才写的Bug是不是货真价实。于是乎，我把IMU传感器，放在静静的桌子上，在程序里庄严地按下了Start。我心里想，输出的6个数据应该都是0左右，毕竟，既没有移动，也没有转动。

但是结果却出乎我的意料，这些数据中有5个是零，但是Z轴加速度在9.8m/s²附近波动。

我很快意识到应该不是我写的Bug，9.8是重力加速度，当时直接告诉了旁边的同学：“这传感器出了点问题啊，它怎么认为自己在跳楼呀！”。直到钱先生告诉我，正常的IMU都是能感受到重力加速度的，才打消了弄坏设备的顾虑。

但到这里我的心中涌起两个疑惑：

1. 即使受到重力，那也应该是向下的加速度，而Z轴的正方向应该朝上，这样输出的值应该是负的，而不是+9.8。
2. 明明是测加速度的设备，为什么不能想办法把重力补偿掉呢？这样才能直接推算速度对吧。

作为本能的反应，先看看是不是自己弄错了，我去查了Datasheet，确认了Z轴定义的方向的确是朝上的。

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IMU原理初探

为了一探究竟，只能从IMU的测量原理入手了，这里的疑问在于线加速度的测量，所以主要探究加速度计的原理。仔细一查，人们为了测量加速度，真是想了好多种方法，分类都是个麻烦事儿。按测量原理就可以分为压电、振弦、振梁、光学和摆式等，按系统测量形式，又可以分为开环测量和闭环力平衡式，还有很多分类方式就不多提了。

简易的加速度计可以用弹簧测力计来做，如图所示。以整个装置作为惯性系，物体m会受到惯性力，首先测量出力 F ,就能算出惯性系的加速度 a = -F/m 。

而近年来发展比较热门和常见的是采用MEMS技术（Micro-Electro-Mechanical System），一种典型的结构如下图所示，捕获惯性力的方式类似于弹簧测力计，只不过弹簧的材料变成了电极。

因长得比较像梳子，这种结构又称为梳齿式电容加速度计。ADI公司于1989年开始研究这种结构，1993年发布面向汽车应用的梳齿式电容加速度计，测量范围为±50g。

根据著名的麦克斯韦方程组，当“梳齿“足够长，且电极间距足够小时，可忽略边缘效应，推得

其中，d是电极间距，A是电极板面积，ε是介电常数。

加速度会导致可移动电极的位移，通过测量电容的变化，即可推算出位移的大小，并最终计算出加速度大小。当设备向上加速时，可移动电极会向下位移，反之亦然。

从这个图可以看出，电极也是物体，同样会受到重力，在静止状态下，自然会偏离平衡位置而向下位移，而对于传感器来说，这个位移会让其判断自己在向上加速。

至此，IMU测到的加速度是+9.8m/s²，总算有了合理的解释。重力和检测到的加速度方向相反，这就类似于，惯性系的加速度和惯性力的方向是相反的。

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仰望相对论

还剩下第二个问题，重力的影响有没有办法被补偿掉呢，不计成本的那种？比如专门找个设备去测重力，再把这部分影响补偿掉，毕竟我们想测量的是运动学的加速度！

很遗憾，爱因斯坦在100多年前就给出了否定的答案，断了我们的念想，在广义相对论中提出了 弱等效原理 ：

在局部区域内，引力和惯性力，无法区分；

也可以描述为，引力场和加速场，无法区分力学效应。

只要有引力质量m**G等于惯性质量m I ，任何动力学方法都无法分辨引力和加速场的动力学效应。这个结论很抽象，爱因斯坦提出了一个著名的思想实验，来帮助人们理解这件事情：

在宇宙深处，有一个密封的宇宙飞船，在+z方向加速，其加速度为9.8 m/s²。飞船内有一位宇航员，手里拿着一个苹果，他感受到苹果有重量，同时也感受到自己有重量，他认为有两个可能：

1. 飞船在+z方向加速，周边没有任何的星球的引力场，由于惯性力的缘故，他感受到了苹果和自身有下坠的倾向。
2. 飞船是静止的，停在一颗行星上（比如地球），引力场的强度是9.8N/kg，是万有引力要拉他和苹果下坠。

这位宇航员如果不打开窗看看外面精彩的世界，他就没有办法判断是上述的哪一种情况。

早在伽利略牛顿时期，就通过实验断定了引力质量和惯性质量相等，不过只是把它当成一种神奇的巧合。换言之，IMU传感器从古至今都没有任何办法区分重力和加速度。

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最后的思考

所有的疑惑总算烟消云散，那既然IMU没有办法区分重力和加速度，那有没有办法将重力为我所用呢？

事实上人们也这么做了，在完全静止的条件下，IMU只能感受到重力，将已知的重力加速度作为参考，是一些IMU内参标定的重要方法。

将设备旋转到一些特定的角度，只要转台的角度是足够精密的，就可以算出xyz三个轴方向的“加速度”真值，进而完成内参标定和校正。

除了用于IMU本身的标定，还有很多用法，例如可以用于水平校准，而在一些SLAM算法中，通常会根据重力的方向，来初步判断地平面可能的方向。