FPGA基于线性迭代法的除法器设计

01前言

FPGA实现除法的方法有几种，比如直接用/来进行除法运算，调用IP核进行除法运算，但这两种方式都有个共同的问题——都是黑盒子，在进行时序违例处理时，往往不好操作，比如想打打拍改善下时序都不知从何下手。

02原理介绍

我们都知道商（s）= 分子（FZ）/分母（FM）,该计算过程可等效于公式1

其中FM0为FM/2**fm_shift_bit后所得的取值范围为[1,2)数，通过取一个合适的fm_shift_bit的值，使得FM0的值在[1,2]之间。

同理FZ0为FZ/2**fz_shift_bit后所得的取值范围为[1,2)数，通过取一个合适的fz_shift_bit的值，使得FZ0的值在[1,2]之间。

最后经过多次迭代后，由公式1和公式4得，

当FM0*F1*F2*......FN=1时 s=FZ0*F1*F2*......FN*2**（fz_shift_bit-fm_shift_bit）

例子

利用线性迭代的方式计算33/9

步骤如下：
第1步：将分子分母转换为[1,2)之间的数此时得
FZ0 =33/2**5 = 1.03125
FM0=9/2**3 = 1.125
以上部分在FPGA中相当于右移
由公式2、3得到
fm_shift_bit = 3
fz_shift_bit = 5
第2步：利用公式进行线性迭代，令FM0*F1*F2*......FN=FM_PRE，使FM_PRE接近于1
由第1步得FM0=1.125 
再通过公式5和公式6得
F1=2-1.125=0.875        FM1=1.125*0.875=0.984375  
F2=2-0.9875=1.0125       FM2=0.984375*1.0125=0.9966796875
F3=2-0.9966796875=1.0033203125 
迭代 3次后FM_PRE=1.125*0.875*1.0125*1.0033203125 = 0.99998897552490234375接近于1
此时由公式4得：
s=1.03125*F1*F2*F3*2**(5-3)= 3.66662624359130859375
与理论计算值误差为4.0423075358072916666666666666667e-6

在实际过程应用中，我们可以根据实际的误差要求确认迭代的次数。

01根据原理建立的matlab浮点数仿真模型

具体的matlab模型代码如下所示

Code

matlab迭代运算代码

function s = div_float(fz, fm, itr )
%----------------------判断结果的符号-----------------
if ((fz >= 0) && (fm >= 0)) || ((fz < 0) && (fm < 0))
    sign_flag = 0;
else
    sign_flag = 1;
end


%---------------限定分子范围在[1,2)---------
if fz >=0
  fz = fz;
else 
  fz = -fz;
end


fz_shift_bit = 0;
if fz ~= 0
  fz_inner = fz ;
 while(fz_inner >= 2 || fz_inner < 1)
      if fz_inner >= 2
    fz_inner = floor(fz_inner/2);
   fz_shift_bit = fz_shift_bit + 1;
   else
    fz_inner = fz_inner * 2;
   fz_shift_bit = fz_shift_bit - 1;
  end
 end
  fz = fz/2^fz_shift_bit;
end
%fprintf('a_shift_bit = ');disp(a_shift_bit);
%---------------限定分母范围在[1,2)---------
if fm >=0
  fm = fm;
else 
  fm = -fm;
end


fm_shift_bit = 0;
if fm ~= 0
  fm_inner = fm ;
 while((fm_inner >= 2) || (fm_inner < 1))
      if fm_inner >= 2
    fm_inner = floor(fm_inner/2);
   fm_shift_bit = fm_shift_bit + 1;
   else
    fm_inner = fm_inner * 2;
   fm_shift_bit = fm_shift_bit - 1;
  end
 end
  fm = fm/2^fm_shift_bit;
end
%fprintf('b_shift_bit = ');disp(b_shift_bit);
%-----------迭代过程------------------
for cnt = 0:itr-1
  f = 2 - fm;
 fz = fz * f;
 fm = fm * f;
end
%------------迭代完成后计算商-------------------
%------------当分子分母同时等于0时，令商等于0，
%------------否则，当符号标志为正数时，令其等于商的最大值
if fm ~= 0
  s = fz * 2^(fz_shift_bit - fm_shift_bit);
%  fprintf('a = ');disp(a);
%  fprintf('b = ');disp(b);
%  fprintf('c = ');disp(c);
 if sign_flag == 0
   s = s;
  else
   s = -s;
%  fprintf('~c = ');disp(c);
 end
else 
  if fz == 0
   s = 0;
 else 
   if sign_flag == 0
    s = 256 - 2^-7;
   else
    s = -256;
  end
 end
end

Code

matlab仿真tb

clear;
clc;
close all;


itr = 8;
%-----------定义分子分母和商的精度---------------
delt_fz = 2^-4;
delt_fm = 2^-2;
delt_s = 2^-7;


cntwhole = 1;
for fz = -3232 - delt_fz
  for fm = -8 : delt_fm : 8 - delt_fm
    s = div_float(fz, fm, itr);
  
  s_real = fz/fm;
  
  if s_real >= 256
    s_real = 256 - delt_s;
  elseif s_real < -256
        s_real = -256;
    else 
        s_real = s_real;
    end
    
    err = abs(s_real - s);
    
    s_reg(cntwhole) = s;
    s_real_reg(cntwhole) = s_real;
    err_reg(cntwhole) = err;
    
    cntwhole = cntwhole + 1;
  end
end
figure;plot(s_reg);title("迭代算出的结果");
figure;plot(s_real_reg);title("理论结果");
figure;plot(err_reg);title("误差图");
grid on;
    

下图迭代参数itr取不同值时的理论值与线性迭代值之间的误差图。

itr=8时

此时最大误差为2.7466*10**-7

itr=10时

此时最大误差为7.10543*10**-15

itr=50时

此时最大误差为7.10543*10**-15

由itr分别取8，10，50后所得到的理论值与线性迭代算出的值做差所得到的误差图可知，并不是迭代次数越多精度越小，当迭代次数达到一个临界值后，迭代的次数其实对商的影响就不是很大了。

审核编辑：汤梓红