拓展基于电磁学巴比涅原理的布克关系式

一．亨利·乔治·布克阻抗关系式

亨利·乔治·布克（Henry George Booker, 1910-1988） 先生系出剑桥学术名门，师爷爱德华·维克多·阿普尔顿爵士因无线电物理学（Radio Physics）研究获1947年度诺贝尔物理学奖；导师约翰·阿什沃斯·拉特克利夫在剑桥大学享有崇高声誉，他写的书籍和论文是清晰阐述的典范，在使用英语进行科学解释方面，无人能出其右；师弟马丁·赖尔爵士因射电天文学 （Radio Astronomy）研究获1974年度诺贝尔物理学奖。二战期间布克与师弟马丁都在英国电信研究所从事无线电波传播与天线相关研究工作。 布克于1941年就完成了将光学中的巴比涅原理拓展到电磁学领域的工作，因为当时二战战事正酣，出于保密的原因，成果仅在英国电信研究所内部以机密的形式传阅。布克于二战结束后1946年正式公开发表了电磁学巴比涅原理及适用于互互补电磁结构的阻抗关系式1。该关系式如公式（1）所示

Z1×Z2 = Z02/4,

（1）

其中 Z0代表自由空间波阻抗约等于 377 欧姆，Z1与Z2分别代表互互补电磁结构的输入阻抗。公式（1）后来被称之为布克关系式，它表明互互补电磁结构的输入阻抗之积可以是一个常量，与激励信号的频率无关。在天线领域，偶极子天线和与之对应的缝隙天线是典型的互互补电磁结构。

二．虫明康人阻抗关系式

虫明康人（Yasuto Mushiake, 1921-2020）先生毕业于日本东北大学，师从著名天线专家宇田慎太郎。宇田是八木-宇田天线的主要发明者。虫明康人先生也独立地推导出公式（1），他因没能占先发表而感到沮丧。后来经过进一步思考，虫明康人于1948年正式公开发表了公式（2）

Zi=Z1= Z2= Z0/2.

（2）

公式（2）后来被称之为虫明康人关系式2，它表明自互补电磁结构的输入阻抗Zi可以是一个常量，与激励信号的频率无关。在天线领域，双臂平面等角螺旋天线是典型的自互补电磁结构。 虫明康人所在的日本东北大学电磁工程研究室近一百年来成果突出，人才辈出。其中一位在该研究室做过本科毕业设计的学生田中耕一先生，后来获得了2002年度诺贝尔化学奖。虫明康人老先生受此鼓舞，也期望他提出的自互补原理能受到诺贝尔奖委员会的青睐。

三．拓展亨利·乔治·布克阻抗关系式

作者1990年代初在香港中文大学开始接触天线，期间面见过时任校长的高锟教授，亲耳聆听过他的教诲。他说过的话 “Miniaturisation of a four-leg bench to a three-leg stool is evolutionary. The university should do something revolutionary." 一直在鞭策着作者，踔厉奋发、笃行不怠。高锟校长是2009年度诺贝尔物理学奖得主。 2021年作者研究现代差分天线与单端口天线之间阻抗关系时，自然地拓展了布克关系式，也给出了严格的数学证明，成果发表在2022年2月IEEE天线与传播汇刊上3。公式（3)-(5）是三种情况下拓展的结果。

Zm × Zhs = (Z1/2) × (Z2/2)= Z02/16,

（3）

Zm × Z2 = (Z1/2) × Z2= Z02/8,

（4）

Z1 × Zhs = Z1 × (Z2/2) =Z02/8.

(5)

公式（3)-(5）中Zm与Zhs分别代表单端口振子及缝隙天线的输入阻抗，Z1与Z2分别代表差分振子及缝隙天线的输入阻抗。拓展的布克关系式（3)-(5）都表明两个天线的输入阻抗的乘积始终恒定且与激励信号频率无关。但必须注意的是，满足拓展的布克关系式的天线结构之间，电磁学巴比涅原理并不成立。换句话说，满足电磁学巴比涅原理并不是两个天线输入阻抗的乘积与频率无关的必要条件。

四．利用拓展的布克关系式指导宽带天线设计

2021年中，束俊博士与作者通过全波仿真与天线实物测试验证了拓展的布克关系式（3），并利用拓展的布克关系式（3）与（4）指导设计了两种宽带天线。成果整理成文章投到IEEE天线与传播汇刊后，受到三位评审专家一致肯定。文章经过一轮评审与修改后，很快获得录用，于2022年11月在IEEE天线与传播汇刊正式发表4。作为文章的通讯作者，2023年初我被告知，文章获得编委会推荐，入围R. W. P. King 论文奖候选名单。下面我将介绍如何利用拓展的布克关系式（4）来指导设计一种宽带天线。

A. 天线结构

图 1 示意了天线的几何形状和结构。请注意，天线由三角形单极子和双三角形缝隙组成。天线具有结构简单，易于加工的优点。为了弘扬我们中华哲学与智慧，我将双三角形缝隙称为阴天线，将三角形单极子称为阳天线，将整体结构称为阴阳天线。我将说明互耦在设计中起着至关重要的作用。互耦可以被认为是中华哲学阴阳符号中白色区域内的黑点和黑色区域内的白点。需要提及的是，虫明康人自互补天线不涉及任何互耦，因为自互补天线就一个端口2，布克互互补天线也不涉及任何耦合，因为互互补天线是各自孤立的天线1。

图 1 阴阳天线的几何形状和尺寸示意图

B. 设计策略

拓展的布克关系式（4）告诉我们阳天线与阴天线必须具有相同的谐振频率。我们发现按照公式（6)-(9）选择角度与尺度可以保证它们各自谐振在同一频率。

a = 60o,

(6)

h = 0.15λ,

(7)

b = 180o − a,

(8)

l = 2h.

(9)

公式（7）中λ是自由空间中的波长。 考虑到通过SMA连接器更容易在三角单极子的输入端提供馈电，我们发现采用二端口导纳矩阵处理更方便。一与二端口分别位于双三角形缝最细处与单极子的输入处，我们可以得到方程（10）与（11）：

Y11V1 + Y12V2 = 0,

（10）

Y21V1 + Y22V2 = I2.

（11）

在三角单极子的输入处看到的天线输入导纳Yi可由方程(10)与（11）表示为：

Yi =I2/V2 = Y22 – (Y122/Y11)

= (Y11 Y22 – Y122)/Y11.

（12）

为了使天线的输入与源导纳Y0匹配，互导纳Y12必须满足如下方程：

Y12 = ± Sqrt (Y11 Y22 – Y0Y11).

（13）

方程（13）中所需要的互导纳Y12，可以通过优化图1中的参数d得到。

C. 特征模式

阴阳天线有如图2所示的两个特征模式。而两个模式之间的唯一区别是沿着双三角形缝隙的模式电流流向相反。造成的结果是模式1地板上的有效电流区域大，谐振频率低；模式2地板上的有效电流区域小，谐振频率高。图3是两个模式在各自谐振频率处三维辐射方向图。对比发现两个模式的辐射方向图非常相似， 这就意味着阴阳天线的辐射方向图可以在较宽的频带上保持稳定。阴阳天线实测发现分数频带宽度可达45%。

模式1 模式2

图 2 阴阳天线的特征模式

模式1

模式2

图 3 阴阳天线的特征模式三维辐射方向图

四．结论

文章简单地介绍了基于电磁学巴比涅原理的布克关系式与虫明康人关系式。文章也介绍了作者如何自然地拓展了基于电磁学巴比涅原理的布克关系式。文章的重点是首次指出满足拓展的布克关系式的天线结构之间，电磁学巴比涅原理并不成立。换句话说，满足电磁学巴比涅原理并不是两个天线输入阻抗的乘积与频率无关的必要条件。拓展的布克关系式对研发简单结构的宽带天线有指导意义。最后，让我以下表所列天线阻抗关系来结束此文。

表1 普适的天线阻抗关系

贡献者	阻抗关系	备注
谢昆诺夫5	Zdif/Zsig = 2.	适用于传统差分及与之对应的单端口天线 传统差分天线尺寸总是大于与之对应的单端口天线
张跃平3	Zdif/Zsig = 4, for Z12 = −Z11. Zdif/Zsig = 0, for Z12 = Z11.	适用于现代差分及与之对应的单端口天线 现代差分天线谐振与端口电分离度有关 现代差分天线尺寸可以等于或小于与之对应的单端口天线
张跃平3	Zcom/Zsig = 2, for Z12 = Z11. Zcom/Zsig = 0, for Z12 = −Z11.	适用于现代共模及与之对应的单端口天线
亨利·乔治·布克1	Z1×Z2 = Z02/4	布克关系 Z1 与Z2都是差分输入阻抗 可用于媒质特性阻抗测量 教科书级别的成果
虫明康人2	Zi = Z1 = Z2 = Z0/2	虫明康人关系 可用于指导自互补天线设计 教科书级别的成果
张跃平3	Z1×Z2 = Z02/16,	Z1 与Z2都是单端口输入阻抗 可用于指导宽带天线设计及简化媒质特性阻抗测量
张跃平3	Z1×Z2 = Z02/8	Z1 与Z2一个是单端口而另一个必须是差分输入阻抗 可用于指导宽带天线设计

审核编辑：刘清