巴特沃斯之过滤器介绍

过渡介质从通带到阻带的陡峭度为代价，该巴特沃兹滤波器将在输出信号中提供平坦的响应。因此，它也被称为最大平坦幅度滤波器。

滤波器的衰减响应率由电路中的极数决定。极数将取决于电路中电抗元件的数量，即电路中使用的电感器或电容器的数量。

n阶巴特沃兹滤波器的幅度响应如下：

Vout/Vin=1/√{1+(f/fc)2n}

其中“n”是电路中的极数。随着“n”的值增加，滤波器响应的平坦度也会增加。

“f”=电路的工作频率，“f”c'=电路的中心频率或截止频率。

这些滤波器具有预先确定的考虑因素，其应用主要在较高频率的有源RC电路中。尽管它不能提供尖锐的截止响应，但它通常被认为是许多应用中使用的全能滤波器。

巴特沃斯近似

众所周知，为了满足滤波器响应的考虑并具有接近理想滤波器的近似值，我们需要具有更高阶滤波器。这将增加复杂性。

我们还知道低通和高通电路的输出频率响应和相位响应。理想的滤波器特性是最大平坦度、最大通带增益和最大阻带衰减。

要设计滤波器，需要适当的传递函数。为了满足这些传递函数，在模拟滤波器设计中进行了数学推导，具有许多近似函数。

在这样的设计中，巴特沃斯滤波器是滤波器类型之一。低通巴特沃兹设计考虑主要用于许多功能。稍后我们将讨论归一化低通巴特沃兹滤波多项式。

一阶低通巴特沃兹****滤波器

下面的电路显示了低通巴特沃兹滤波器。

巴特沃兹滤波器所需的通带增益主要取决于“R1”和“Rf”的电阻值，滤波器的截止频率将取决于上述电路中的R和C元件。

滤波器的增益为A_max=1+R1/Rf

电容器“C”的阻抗由-jX给出C电容器两端的电压为：

Vc=–jXC/(R–jXC)*Vin.

WhereXC=1/(2πfc),capacitiveReactance.

极性滤波器的传递函数由下式给出

H(jω)=|Vout/Vin|∟ø

其中滤波器的增益Vout/Vin=Amax/√{1+(f/fH)²}

AndphaseangleØ=–tan-1(f/fH)

在较低频率下意味着当工作频率低于截止频率时，通带增益等于最大增益。

Vout/Vin=Amaxi.e.constant.

在较高频率下意味着当工作频率高于截止频率时，增益小于最大增益。

Vout/Vin

当工作频率等于截止频率时，传递函数等于Amax/√2。增益的下降速率为20dB/十倍频程或6dB/倍频程，在响应斜率中可以表示为-20dB/倍频程。

二阶低通巴特沃兹滤波器

连接到一阶巴特沃兹滤波器的附加RC网络为我们提供了二阶低通滤波器。这种二阶低通滤波器的优点是，增益在截止频率之后（在阻带内）滚降得非常快。

在该二阶滤波器中，截止频率值取决于两个RC部分的电阻和电容值。截止频率使用以下公式计算。

fc=1/（2π√R2C2)

增益以40dB/十倍频程的速率滚降，该响应以斜率-40dB/十倍频程显示。滤波器的传递函数可以给出为

Vout/Vin=Amax/√{1+(f/fc)4}

二阶滤波器传递函数的标准形式如下：

Vout/Vin=Amax/s2+2εωns+ωn2

其中ωn=振荡的固有频率=1/R2C2

ε=阻尼系数=（3–A.max)/2

对于二阶巴特沃兹滤波器，所需的中间项是sqrt（2）=1.414，从归一化巴特沃斯多项式为

3–A.max=√2=1.414

为了获得安全的输出滤波器响应，增益必须A.max是1.586。

高阶巴特沃兹滤波器是通过级联一阶和二阶巴特沃兹滤波器获得的。这可以显示如下：

其中n和bn是预先确定的滤波器系数，用于生成所需的传递函数。

巴特沃兹滤波器的理想频率响应

输出响应的平坦度随着滤波器阶数的增加而增加。下面给出了不同阶次的巴特沃兹滤波器的增益和归一化响应。

归一化低通巴特沃兹滤波多项式

归一化是电压、电流或阻抗除以同一测量单位的数量的过程。此过程用于制作特定值的无量纲范围或水平。

滤波传递函数的分母多项式给了我们巴特沃斯多项式。如果我们考虑半径相等的圆上的s平面，其中心位于原点，那么巴特沃兹滤波器的所有极点都位于该s平面的左半部分。

对于任何阶滤波器，“s”的最高幂的系数应始终为1，对于任何阶滤波器，常量项应始终为1。对于偶数阶滤波器，所有多项式因子本质上都是二次的。对于奇阶滤波器，除一阶滤波器外，所有多项式都是二次的，对于一阶滤波器，多项式为1+s。

系数形式的巴特沃兹多项式如下表所示。

n阶巴特沃兹滤波器的传递函数如下给出

H（jω）=1/√{1+ε²（ω/ωc)2n}

其中n是筛选器的顺序

ω是弧度频率，等于2πf

ε是最大通带增益Amax

巴特沃兹低通滤波器示例

我们考虑截止频率为15.9kHz、通带增益为1.5、电容C=0.001μF的巴特沃兹低通滤波器。

fc=1/2πRC

15.910³=1/{2πR10.001*10-6}

R=10kΩ

Amax=1.5andassumeR1as10kΩ

Amax=1+{Rf/R1}

Rf=5kΩ

三阶巴特沃兹低通滤波器

一阶和二阶巴特沃斯滤波器的级联连接得到三阶巴特沃斯滤波器。三阶巴特沃兹滤波电路如下所示。

对于三阶低通滤波器，给定归一化低通巴特沃兹多项式的多项式为（1+s）（1+s+s²）。此过滤器包含三个未知系数，它们是0一个1一个2.

这些系数值为0=1，a1=2和a2=2。与一阶滤波器相比，该三阶巴特沃兹滤波器的曲线平坦度增加。