离散傅里叶变换及其应用简析

傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学工具，用于将一个函数（通常是时间域函数）转换成另一个函数（通常是频域函数），以分析该函数的频率特性。傅里叶变换是工程、物理学、计算机科学、图像处理、音频信号处理以及量子物理等多个领域中常用的一种数学方法。

时间域和频域是信号或函数的两种不同表示方式，它们包含的是同样的信息，只是从不同的角度进行展示。傅里叶变换（Fourier Transform）和其逆变换（Inverse Fourier Transform）是从时间域到频域、以及从频域到时间域进行转换的数学工具。

通过傅里叶分析，你可以将一个时间域函数转换到频域来分析它，或者将一个频域函数转回时间域以重构它。这两种表示方式各有其优点和应用场景。例如，在信号处理、通信、图像处理等多个领域，频域分析提供了很多方便和高效的方法。

时间域函数

在时间域 (Time Domain) 中，信号或函数是按照时间变量 (通常表示为 t ) 来描述的。在这个表示中，你可以看到信号是如何随着时间变化的。时间域表示是直观的，因为它正是我们在现实世界中观察信号的方式。例如，声音波、电信号等都可以在时间域中表示。举个简单的例子，正弦波 Asin⁡(2πωt+ϕ) 是一个时间域函数，其中 A 是振幅， ω 是频率， ϕ 是相位角， t 是时间。

频域函数

频域（Frequency Domain）表示则是关注信号各个不同频率成分的强度或相位。在频域表示中，信号被表达为一系列正弦和余弦波的组合，这些正弦和余弦波有不同的频率和振幅。这样的表示使得我们能更容易地分析和理解信号的频率特性。例如，傅里叶变换是一种常用的从时间域到频域的转换方法。在该变换后，将得到一个频域函数，通常表示为 F(f) 或 F(ω) ，其中 f 或 ω 是频率或角频率。

我们知道，任何周期函数在满足狄利克雷条件下 (连续或只有有限个间断点，且都是第一类间断点；只有有限个极值点)，都可以展开成一组正交函数的无穷级数之和。使用三角函数集的周期函数展开就是傅里叶级数。对于周期为 T 的信号 f(t) ，可以用三角函数集的线性组合来表示，即

式中 ω=2π/T 是周期信号的角频率，也成基波频率， nω 称为 n 次谐波频率; 为信号的直流分量，和分别是余弦分量和正弦分量幅度。根据级数理论，傅里叶系数、、的计算公式为:

若将式子中同频率的正弦项和余弦项合并，得到另一种形式的周期信号的傅里叶级数，即

其中，为信号的直流分量;为信号的基频分量，简称基波；为信号的 n 次谐波， n 比较大的谐波，称为高次谐波。上式说明任何周 期信号只要满足狄利克雷条件，都可以分解成直流分量和一系列谐波分量之和，这些谐波分量的频率是周期信号基频的整数倍。比较两种三角函数形式的傅里叶级数，可以看出它们的系数有如下关系:

傅里叶变换适用于非周期性函数，将一个时间域函数转换为其对应的频域函数。可以将傅里叶级数看作是傅里叶变换的一个特殊情况。考虑一个周期为 T 的函数。如果 T 趋于无穷，这意味着函数是非周期性的，此时傅里叶级数会趋向于傅里叶变换。

连续傅里叶变换

对于连续函数 f(t) ，其连续傅里叶变换定义为:

逆变换是:

离散傅里叶变换

对于离散信号，有离散傅里叶变换 (DFT) :

其逆变换是:

离散傅里叶变换在多项式乘法中的应用

对于n-1阶多项式可以用n个点唯一表示（复数的点也是可以的）。令，，k=1,…,n-1

只要我们可以求出矩阵的逆，就能反推出这个 Q 的系数。这个矩阵的逆的形式:

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）的一种高效算法。FFT能在 O(NlogN) 的时间复杂度内完成这一变换，而直接计算 DFT需要 O(N^2^) 的时间复杂度。

FFT基于一种名为“分治法”的递归策略，它将一个大问题分解为几个更小的子问题来解决。对于一个 N 点的DFT，FFT会把它分成两个 N/2 点的DFT，并递归地进行这个过程。

具体来说，FFT算法采用以下步骤:

1. 分解阶段：原始 N 点DFT分解为两个 N/2 点的子序列，一个包含所有的偶数索引，另一个包含所有的奇数索引。
2. 递归阶段: 对这两个 N/2 点子序列递归地应用FFT。
3. 组合阶段：使用递归解的结果，通过一系列的复数乘法和加法，组合得到原始N点DFT的结果。

原始的DFT定义为:

在FFT中，这个和会被分成两部分：一部分是偶数索引，另一部分是奇数索引:

其中 E[k] 和 O[k] 是偶数和奇数序列的DFT。

具体例子

假设我们有一个 4 点的序列 x=[0,1,2,3] 。

1. 分解

偶数序列 e=[0,2]

奇数序列 o=[1,3]

2. 递归求解

3. 合并

所以 X=[6,0,-2,-4] ，这就是序列 x 的DFT。这个过程大大减少了计算量，当 N 是2 的幂时，效率最高。

我们总结一下该过程的时间复杂度如下：

1. DFT阶段: 将两个 n 度的多项式 A(x) 和 B(x) 使用FFT转换到点值表示，分别得到 A(k) 和 B(k) 。时间复杂度为 2×O(nlogn)=O(nlogn) 。
2. 乘法阶段：在点值表示下，将 A(k) 和 B(k) 对应点值相乘得到 C(k) 。这是个 O(n) 时间复杂度的操作。
3. IDFT阶段：再次使用FFT (实际上是其逆变换IDFT)将 C(k) 转换回系数表示得到 C(x) ， 即 A(x)×B(x) 。时间复杂度是 O(nlogn) 。综合这三个阶段，总时间复杂度为 O(nlogn)+O(n)+O(nlogn)=O(nlogn) 。

数论变换（NTT）是有限域上离散傅里叶变化的一个变体。由于离散傅里叶变换是基于复数域上的变换，大多是浮点运算，故存在着一定的精度和效率问题。在许多应用中，需要对整数商环上的多项式进行变换，在这种情况下离散傅里叶变换的性能无法满足要求。而NTT直接对整数进行处理而无需考虑浮点数中的存储问题和精度问题，避免了浮点计算，大大提高了运算效率，非常适合基于LWE或RLWE难题的密码系统。

数论变换(NTT)是整数环上定义的线性正交变换。设x(i)，X(k)∈，i=0,1,2…,n-1，k=0,1,2,…,n-1，有如下公式：

公式中ω为模q的n次单位原根，满足

n为整数并且存在n^-1^满足