开源LLEMMA发布：超越未公开的顶尖模型，可直接应用于工具和定理证明

今天向大家介绍一个新的开源大语言模型——LLEMMA，这是一个专为数学研究而设计的前沿语言模型。

LLEMMA解数学题的一个示例

LLEMMA的诞生源于在Proof-Pile-2数据集上对Code Llama模型的深度训练。这个数据集是一个科学论文、数学相关网页和数学代码的综合体。

过去虽然有数学专用的模型，但许多模型都有各种限制。例如，有的模型是封闭访问，这使得它们无法为更广泛的研究所用。有的则技术上稍显落后。

但LLEMMA的出现改变了这一局面。它不仅在MATH基准测试上创下了新高，甚至超越了某些还未对外公开的顶尖模型，如Minerva。更让人欣喜的是，LLEMMA无需额外的调整，即可直接应用于工具和定理证明。

让我们一起了解下这个模型背后的技术吧！

Paper:Llemma: An Open Language Model For Mathematics
Link:https://arxiv.org/pdf/2310.10631.pdf
Code:https://github.com/EleutherAI/math-lm

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数据集

LLEMMA是专为数学设计的大型语言模型，具有70亿和340亿参数。这一模型的训练方法是在Proof-Pile-2.2.1数据集上继续对Code Llama模型进行预训练。以下是关于该数据集的简要说明：

Proof-Pile-2：这是一个包含550亿令牌的综合数据集，融合了科学论文、数学相关的网络内容和数学代码，其知识截止于2023年4月（不包括特定的Lean证明步骤子集）。

代码：为了适应数学家日益重视的计算工具，如数值模拟和计算代数系统，研究团队创建了名为AlgebraicStack的源代码数据集。这个数据集涉及17种编程语言，包括数值、符号和正式的数学内容，共计110亿令牌。

网络数据：研究团队利用了OpenWebMath数据集，这是一个精选的、与数学相关的高质量网络页面集合，总计150亿令牌。

科学论文：使用了名为RedPajama的ArXiv子集，其中包含290亿令牌。

通用自然语言和代码数据：作为训练数据的补充，研究团队还融合了一些通用领域的数据，并以Proof-Pile-2为主，还融合了Pile数据集和RedPajama的GitHub子集。

模型训练

模型初始化：所有模型都从Code Llama初始化，随后在Proof-Pile-2上接受更多的训练。

训练量：

LLEMMA 7B：2000亿令牌的训练。

LLEMMA 34B：500亿令牌的训练。

训练工具和硬件：使用GPT-NeoX库在256个A100 40GB GPU上进行训练。使用了各种先进技术如Tensor并行、ZeRO Stage 1分片优化器状态、Flash Attention 2等以提高效率和减少内存需求。

训练细节：

LLEMMA 7B：经过42,000步训练，每个全局批次有400万令牌，上下文长度为4096令牌，占用A100大约23,000小时。学习率开始从1 × 10^(-4)渐温，然后逐渐减少。虽然计划是48,000步训练，但在42,000步时由于NaN损失中断了。

LLEMMA 34B：经过12,000步训练，每个全局批次有400万令牌，上下文长度为4096令牌，约占用47,000个A100小时。学习率从5 × 10^(-5)开始逐渐增加，然后逐渐减少。

RoPE调整：在训练LLEMMA 7B前，RoPE的基本周期从θ = 1,000,000减少到θ = 10,000，目的是为了在LLEMMA 7B上进行长上下文微调。而LLEMMA 34B维持了θ = 1,000,000的原始设置。

实验设置与评估结果

作者通过少样本评估对LLEMMA模型进行比较，并专注于没有进行微调的最新模型。具体来说，他们使用了使用思维链推理和多数投票，在MATH和GSM8k等基准上进行了评估。

评估范围：

数学问题求解：测试模型在思维链推理和多数投票的数学问题上的表现。

少样本工具使用和正式定理证明：研究模型在这些方面的表现。

记忆和数据混合的影响：分析这些因素如何影响模型的表现。

使用CoT解决数学任务

评估数据集和任务：

MATH：一个来自高中数学竞赛的问题集，模型必须生成一个LATEX的解决方案，且其答案需要与参考答案匹配。

GSM8k：包含中学数学问题的数据集。

OCWCourses：从MIT的开放课程Ware提取的STEM问题。

MMLU-STEM：MMLU基准中的18个子集，涵盖57个主题。

SAT：包含2023年5月的SAT考试中不包含图形的数学问题的数据集。

作者与以下模型进行了比较：

Minerva：这个模型在技术内容的数据集上继续预训练了PaLM语言模型。

Code Llama：LLEMMA继续预训练的初始化模型。

Llama 2：Code Llama在代码上继续预训练的初始化模型。

对于开源的模型，作者使用他们的评估套件来报告分数，该套件是Language Model Evaluation Harness的一个分支。对于Minerva模型，作者报告了Lewkowycz等人在2022年文章中的基准分数。

LLEMMA在Proof-Pile-2上的继续预训练提高了五个数学基准测试的少样本性能。LLEMMA 34B在GSM8k上比Code Llama提高了20个百分点，在MATH上提高了13个百分点；LLEMMA 7B的表现超过了专有的Minerva模型。到目前为止，LLEMMA在所有开放权重语言模型上均表现最佳。因此，可以得出结论，Proof-Pile-2上的继续预训练对于提高预训练模型的数学问题解决能力是有效的。

此外，LLEMMA是在与数学相关的多样化数据上预训练的，而不是为特定任务进行调优。因此，预期LLEMMA可以通过任务特定的微调和少样本提示适应许多其他任务。

调用计算工具解决数学任务

这些任务涉及在有计算工具的情况下解决问题，主要评估了以下内容：

MATH+Python：模型被提示以自然语言交替描述解决方案的步骤，然后使用代码执行该步骤。最后的答案是一个可以执行为数字类型或SymPy对象的程序。我们的少样本提示包括使用内置数字操作、math模块和SymPy的示例。

GSM8k+Python：通过编写一个执行为整数答案的Python程序来解决GSM8k单词问题。我们使用了Gao等人（2023）的提示。

如下表所示，LLEMMA在两个任务上都优于Code Llama。它在MATH和GSM8k上使用工具的性能也高于它在没有工具的这些数据集上的性能。

形式化数学（数学证明）

交互式证明助手，例如Lean和Isabelle，使用特殊的编程语言来帮助验证数学证明。但是，与常见的编程语言相比，这些特殊语言的数据非常少。

LLEMMA模型经过进一步的预训练，以处理与这些证明相关的任务。在给定问题、非正式证明和正式声明后，LLEMMA可以生成Isabelle代码的正式证明。此外，模型还可以根据证明助手给出的状态，生成证明的下一个步骤。

LLEMMA在Proof-Pile-2的预训练包括从Lean和Isabelle提取的正式数学数据，总计超过15亿个标记。作者对LLEMMA在两个任务上的少样本性能进行了评估：

非正式到正式的证明：根据非正式的说明，为数学问题生成正式的证明。

正式到正式的证明：在已知的证明步骤中，为下一个步骤生成代码。

结果显示，LLEMMA在Proof-Pile-2上的继续预训练提高了两个正式定理证明任务的少样本性能。

数据混合

在训练语言模型时，经常会根据混合权重提高训练数据中高质量子集的样本频率。作者通过在多个手动选择的混合权重上进行短期训练，然后选择在高质量保留文本上（使用MATH训练集）最小化困惑度的权重。通过这种方法，确定了训练LLEMMA的最佳数据混合比例为21。

数据重叠和记忆

作者检查了测试问题或解决方案是否出现在语料库中。通过查找与测试序列中任何30-gram相匹配的文档确定匹配程度。作者发现大约7%的MATH测试问题陈述和0.6%的解决方案在语料库中有匹配。

在随机抽取的100个匹配中，作者详细检查了测试问题与OpenWebMath文档之间的关系。其中，41个案例没有解决方案，49个提供了与MATH基准解决方案不同但答案相同的解决方案，9个答案错误或缺失，而只有1个与基准解决方案相同。

作者进一步探索了语料库中的问题如何影响模型的性能。当将LLEMMA-34b应用于具有30-gram匹配的测试示例和没有30-gram匹配的测试示例时，模型在难题上的准确率仍然较低，例如在具有匹配的Level 5问题上的准确率为6.08%，而在没有匹配的问题上的准确率为6.39%。

作者发现，30-gram匹配与各个难度级别的准确性之间没有明确的关系。这意味着测试示例和训练文档之间的重要匹配，并不意味着模型生成了一个记忆中的正确答案。

此外，作者还检查了LLEMMA在MATH生成中与OpenWebMath之间的30-gram匹配，发现了13个匹配，这些匹配发生在模型生成了一系列常见的数字序列时，例如斐波那契数列，以及一次多项式因式分解的情况。这些观察结果值得进一步研究。

结语

在这篇研究中，研究团队成功地推出了LLEMMA和Proof-Pile-2，这是专为数学语言建模设计的大语言模型和语料库。他们公开了模型、数据集和相关代码。

研究揭示，LLEMMA在开放权重模型的数学问题解决标准测试上的表现尤为出众，它不仅能通过Python代码娴熟地调用外部工具，还在定理证明中展示了少样本策略预测的高效实用性。此外，该团队深入探讨了模型在解决数学问题时的卓越性能。

LLEMMA的出现，为我们展现了数学与人工智能融合的新前景。随着LLEMMA和Proof-Pile-2的应用，期望在未来更能深化对语言模型的泛化能力、数据集结构的认知，探索将语言模型作为数学助手的可能性，并不断提升其处理数学问题的能力。