聊聊s域和z域之间的转换

之前跟大家聊过CDR、TX FFE均衡和SDM，他们的传函都是z域的，对于模拟IC工程师而言，更喜欢在s域用bode图来分析稳定性问题，本期跟大家聊聊s域和z域之间的转换。

1. z平面到s****平面的映射

Fig1. s平面到z平面的映射关系

由上面的推导及映射关系可得到如下结论：

①s平面左半平面（σ<0）映射到z平面的单位圆内

②s平面右半平面（σ>0）映射到z平面的单位圆外

③s平面虚轴（σ=0）映射到z平面的单位圆上

④s平面虚轴从负无穷到正无穷每间隔fs或ω s ，z平面单位圆旋转一周

⑤稳定系统要求s平面的σ<0或者z平面的所有极点落在单位圆内（后边章节会有解释）。

当σ=0时，角频率ω从0ωs~变化时z域极坐标角度θ的变化如表1所示。

Table1. σ=0时，ω与θ的关系

2. σ为什么要小于****0

对于一阶RC低通滤波器而言，其传递函数为1/(1+sRC)，其极点为-1/RC。联系之前讲的s=σ+jω，得到此一阶低通滤波器的σ=-1/RC，ω=0，1/(1+sRC)进行拉普拉斯变换转到时域的表达式 为e^-t/RC^，这显然是一个减函数，系统最终会趋于稳定，相反σ=1/RC>0时为增函数，系统不稳定。因此稳定系统要求所有极点中的σ项小于0（或者所有极点落在单位圆内）。

3. z****域稳定性分析

3.1 CDR****环路分析

替换前CDR的z域传函：

替换后CDR的s域传函：

3.2 SDM****分析

Fig2. 三阶单环前馈SDM z域模型

Fig3. 三阶单环前馈SDM噪声传函的零极点分布

Fig4. 一阶/二阶泰勒等效和freqz函数得到的幅频特性曲线

三阶单环前馈SDM噪声传函，一阶/二阶泰勒等效和freqz函数得到的幅频特性曲线的matlab code如下：

clear all;close all;clc;

fs=100e6;Ts=1/fs;

% P=logspace(0,6);

P = bodeoptions; % Set frequency units toHz in options

P.FreqUnits = 'Hz'; % Create plot withthe options specified by P

%%%%%%second order taylor series expansion%%%%%%

num_second_order_taylor =[TsTsTs,0,0,0];

den_second_order_taylor =[0.125TsTsTsTs,0.5TsTsTs,0.5Ts*Ts,0,0.5];

Ls_second_order_taylor = tf(num_second_order_taylor,den_second_order_taylor);

%%%%%%first order taylor series expansion%%%%%%

num_first_order_taylor =[TsTsTs,0,0,0];

den_first_order_taylor =[0.5TsTs,0,0.5];

Ls_first_order_taylor =tf(num_first_order_taylor,den_first_order_taylor);

figure(1);

bodemag(Ls_second_order_taylor,{1,2pi100000000},P,'-b');holdon;

bodemag(Ls_first_order_taylor,{1,2pi100000000},P,'-g');

%%%%%%z transform%%%%%%

w=linspace(0,2*pi,1000);

numEqsingleloop=[1 -3 3 -1];%(1-z^-1)^3

densingleloop=[1 -1 0.5];%1-z^-1+0.5z^-2

HEqsingleloop=freqz(numEqsingleloop,densingleloop,w);holdon;

loglog(wfs/2/pi,20log10(abs(HEqsingleloop)),'-r');gridon;

legend('second order taylor seriesexpansion','first order taylor series expansion','z transform');