贝叶斯深度学习介绍

1 Introduction

基于深度学习的人工智能模型往往精于 “感知” 的任务，然而光有感知是不够的，“推理” 是更高阶人工智能的重要组成部分。比方说医生诊断，除了需要通过图像和音频等感知病人的症状，还应该能够推断症状与表征的关系，推断各种病症的概率，也就是说，需要有“thinking”的这种能力。具体而言就是识别条件依赖关系、因果推断、逻辑推理、处理不确定性等。

概率图模型（PGM）能够很好处理概率性推理问题，然而PGM的弊端在于难以应付大规模高维数据，比如图像，文本等。因此，这篇文章尝试将二者结合，融合到DBL的框架之中。

比如说在电影推荐系统中，深度学习适于处理高维数据，比如影评（文本）或者海报（图像）；而概率图模型适于对条件依赖关系建模，比如观众和电影之间的网络关系。

从uncertainty的角度考虑，BDL适合于去处理这样的复杂任务。复杂任务的参数不确定性一般有如下几种：（1）神经网络的参数不确定性；（2）与任务相关的参数不确定性；（3）perception部分和task-specific部分信息传递的不确定性。通过将未知参数用概率分布而不是点估计的方式表示，能够很方便地将这三种uncertainty统一起来处理（这就是BDL框架想要做的事情）。

另外BDL还有 “隐式的”正则化作用，在数据缺少的时候能够避免过拟合。通常BDL由两部分组成：perception模块和task-specific模块。前者可以通过 权值衰减或者dropout正则化 （这些方法拥有贝叶斯解释），后者由于可以 加入先验 ，在数据缺少时也能较好地进行建模。

当然，BDL在实际应用中也存在着挑战，比如时间复杂性的问题，以及两个模块间信息传递的有效性。

2 Deep Learning

这一章主要介绍经典的深度学习方法，这里不用过多的篇幅去叙述，文章中提到的方法包括MLP、AutoEncoder、CNN、RNN等。

2.2 AutoEncoders

这一部分提一下自编码器。这是一种能将输入编码为更紧凑表示的神经网络，同时能够将这种紧凑表示进行重建。这方面的资料也很多，这里主要说明一下AE的变种——SDAE（Stacked Denoising AutoEncoders）

SDAE的结构如上图所示，和AE不同的是，可以看做输入数据加入噪声或者做了一些随机处理后的结果（比如可以把中的数据随机选30%变为零）。所以SDAE做的就是试图把处理过的corrupted data恢复成clean data。SDAE可以转化为如下优化问题：

3 Probabilistic Graphical Model

这一章主要介绍概率图模型，也是为后面的内容做知识铺垫的，概率图模型的相关资料有不少，因此这里不过多叙述。文章主要介绍的是有向贝叶斯网（Bayesian Networks），如LDA等模型。LDA可以拓展出更多的topic model，如推荐系统中的协同话题回归（CTR）。

4 Bayesian Deep Learning

在这个部分，作者列举了一些BDL模型在推荐、控制等领域的应用，我们可以看到，众多当前实用的模型都可以统一到BDL这个大框架之下：

4.1 A Brief History of Bayesian Neural Networks and Bayesian Deep Learning

和BDL很相似的是BNN（Bayesian neural networks），这是一个相当古老的课题，然而BNN只是本文BDL框架下的一个子集——BNN相当于只有perception部分的BDL。

4.2 General Framework

如下图是文章提出的基本框架，红色部分是 感知模块 ，蓝色部分是 任务模块 。红色部分通常使用各种概率式的神经网络模型，而蓝色部分可以是贝叶斯网络，DBN，甚至是随机过程，这些模型会以概率图的形式表示出来。

在这个基本框架中往往有三种变量：perception variables （图中的X,W）, hinge variables （图中的H）和task variables （图中的A,B,C）。通常来说，红色模块和hinge variables之间的连接是独立的。因此，对于能归纳到BDL框架下的模型，我们都可以找到这样的结构——两个模块，三种变量。

BDL可以对红蓝两个部分之间信息交换的uncertainty进行建模，这个问题等价研究的uncertainty（在公式中的体现就是条件方差）。方差的不同假设有：Zero-Variance（ZV，没有不确定性，方差为零），Hyper-Variance（HV，方差大小由超参数决定），Learnable Variance（LV，使用可学习参数表示）。显然，灵活性上有LV>HV>ZV。

4.3 Perception Component

通常来说，这一部分应该采用BNN等模型，当然我们可以使用一些更加灵活的模型，比如RBM，VAE，以及近来比较火的GAN等。文章提到了以下几个例子：

Restricted Boltzman Machine ：RBM是一种特殊的BNN，主要特点有：（1）训练时不需要反向传播的过程；（2）隐神经元是binary的。RBM的具体结构如下：

RBM通过Contrastive Divergence进行训练（而不是反向传播），训练结束后通过边缘化其他neurons就能求出和。

Probabilistic Generalized SDAE： 我们将2.2提到的SDAE加以改进，如果假设clear input 和corrupted input 都是可以观察的 ，便可以定义如下的Probabilistic SDAE：

Variational Autoencoders ：VAE的基本想法就是通过学习参数最大化ELBO，VAE也有诸多变种，比如IWAE（Importance weighted Autoencoders），Variational RNN等。

Natural-Parameter Networks ：与确定性输入的vanilla NN不同，NPN将一个分布作为输入（和VAE只有中间层的output是分布不同）。当然除了高斯分布，其他指数族也可也当做NPN的输入，如Gamma、泊松等。

4.4 Task-Specific Component

这一个模块的主要目的是将概率先验融合进BDL模型中（很自然的我们可以用PGM来表示），这个模块可以是Bayesian Network，双向推断网络，甚至是随机过程。

Bayesian Networks ：贝叶斯网是最常见的task-specific component。除了LDA，另一个例子是PMF（Probabilistic Matrix Factorization），原理是使用BN去对users，items和评分的条件依赖性建模。以下是PMF假设的生成过程：

Bidirectional Inference Networks ：Deep Bayesian Network不止关注“浅相关”和线性结构，还会关注随机变量的非线性相关和模型的非线性结构。BIN是其中的一个例子。

Stochastic Processes ：随机过程也可以作为Task-component，比如说用维纳过程模拟离散布朗运动，用泊松过程模拟处理语音识别的任务等。随机过程可以被看做一种动态贝叶斯网（DBN）。

5 Concerte BDL Models and Applications

上一章讨论完构成BDL的基本模型结构，我们自然希望能够把这一套大一统的框架运用在一些实际的问题上。因此，这一章主要讨论了BDL的各种应用场景，包括推荐系统，控制问题等。在这里我们默认任务模块使用vanilla Bayesian networks作为这个部分的模型。

5.1 Supervised Bayesian Deep Learning for Recommender Systems

Collaborative Deep Learning 。文章在这个部分提出Collaborative Deep Learning（CDL）来处理推荐系统的问题，这种方法连接了content information（一般使用深度学习方法处理）和rating matrix（一般使用协同过滤）。

使用4.3.2提到的Probabilistic SDAE，CDL模型的生成过程如下：

为了效率，我们可以设置趋向正无穷，这个时候，CDL的图模型就可以用下图来表示了：

红色虚线框中的就是SDAE（图上是L=2的情况），右边是degenerated CDL，我们可以看到，degenerated CDL只有SDAE的encoder部分。根据我们之前定义过的，就是hinge variable，而是task variables，其他的是perception variables。

那么我们应该如何训练这个模型呢？直观来看，由于现在 所有参数都被我们当做随机变量 ，我们可以使用纯贝叶斯方法，比如VI或MCMC，然而这样计算量往往是巨大的，因此，我们使用一个EM-style的算法去获得MAP估计。先定义需要优化的目标，我们希望最大化后验概率，可以等价为最大化给定的joint log-likelihood。

注意，当趋向无穷时，训练CDL的概率图模型就退化为了训练下图的神经网络模型：两个网络有相同的加了噪音的输入，而输出是不同的。

有了优化的目标，参数该如何去更新呢？和巧妙的EM算法的思路类似，我们通过迭代的方法去逐步找到一个局部最优解：

当我们估计好参数，预测新的评分就容易了，我们只需要求期望即可，也就是根据如下公式计算：

Bayesian Collaborative Deep Learning ：除了这种模型，我们可以对上面提到的CDL进行另外一种扩展。这里我们不用MAP估计，而是sampling-based算法。主要过程如下：

当趋向正无穷并使用adaptive rejection Metropolis sampling时，对采样就相当于BP的贝叶斯泛化版本。

Marginalized Collaborative Deep Learning ：在SDAE的训练中，不同训练的epoch使用不同的corrupted input，因此训练过程中需要遍历所有的epochs，Marginalized SDAE做出了改进：通过边缘化corrupted input直接得到闭式解。

Collaborative Deep Ranking ：除了关注精确的评分，我们也可以直接关注items的排名，比如CDR算法：

这个时候我们需要优化的log-likelihood就会成为：

Collaborative Variational Autoencoders ：另外，我们可以将感知模块的Probabilistic SDAE换成VAE，则生成过程如下：

总之，推荐系统问题往往涉及高维数据（文本、图像）处理以及条件关系推断（用户物品关系等），CDL这类模型使用BDL的框架，能发挥很重要的作用。当然其他监督学习的任务也可以参考推荐系统的应用使用CDL的方法。

5.2 Unsupervised Bayesian Deep Learning for Topic Models

这一小节过渡到非监督问题中，在这类问题中我们不再追求 “match” 我们的目标，而更多是 “describe” 我们的研究对象。

Relational Stacked Denoising Autoencoders as Topic Models (RSDAE) ：在RSDAE中我们希望能在关系图的限制下学到一组topics（或者叫潜因子）。RSDAE能“原生地”集成潜在因素的层次结构和可用的关系信息。其图模型的形式和生成过程如下：

同样的，我们最大化后验概率，也就是最大化各种参数的joint log-likelihood：

训练的时候我们依然使用EM-style的算法去找MAP估计，并求得一个局部最优解（当然也可以使用一些带skip的方法尝试跳出局部最优），具体如下：

Deep Poisson Factor Analysis with Sigmoid Belief Networks ：泊松过程适合对于非负计数相关的过程建模，考虑到这个特性，我们可以尝试把Poisson factor analysis（PFA）用于非负矩阵分解。这里我们以文本中的topic问题作为例子，通过取不同的先验我们可以有多种不同的模型。

比如说，我们可以通过采用基于sigmoid belief networks（SBN）的深度先验，构成DeepPFA模型。DeepPFA的生成过程具体如下：

这个模型训练的方式是用Bayesian Conditional Density Filtering（BCDF），这是MCMC的一种online版本；也可以使用Stochastic Gradient Thermostats（SGT），属于hybrid Monto Carlo类的采样方法。

Deep Poisson Factor Analysis with Restricted Boltzmann Machine ：我们也可以将DeepPFA中的SBN换成RBM模型达到相似的效果。

可以看到，在基于BDL的话题模型中， 感知模块用于推断文本的topic hierarchy，而任务模块用于对词汇与话题的生产过程，词汇-话题关系，文本内在关系建模 。

5.3 Bayesian Deep Representation Learning for Control

前面两小节主要谈论BDL在监督学习与无监督学习的应用，这一节主要关注另外一个领域：representation learning。用控制问题为例。

Stochastic Optimal Control ：在这一节，我们考虑一个未知动态系统的随机最优控制问题，在BDL的框架下解决的具体过程如下：

BDL-Based Representation Learning for Control ：为了能够优化上述问题，有三个关键的部分，具体如下：

Learning Using Stochastic Gradient Variational Bayes ：该模型的损失函数是如下这种形式：

在控制的问题中，我们通常希望能够从原始输入中获取语义信息，并在系统状态空间中保持局部线性。而BDL的框架正好适用这一点，两个组件分别能完成不同的工作：感知模块可以捕获 live video，而任务模块可以推断动态系统的状态。

5.4 Bayesian Deep Learning for Other Applications

除了上面提到的，BDL还有其他诸多运用场景：链路预测、自然语言处理、计算机视觉、语音、时间序列预测等。比如，在链路预测中，可以将GCN作为感知模块，将stochastic blockmodel作为任务处理模块等。

6 Conclusion and Future Research

现实中很多任务都会涉及两个方面：感知高维数据（图像、信号等）和随机变量的概率推断。贝叶斯深度学习（BDL）正是应对这种问题的方案： 结合了神经网络（ NN ）和概率图模型（PGM）的长处 。而广泛的应用使得BDL能够成为非常有价值的研究对象，目前这类模型仍然有着众多可以挖掘的地方。