Python轴承故障诊断之经验模态分解EMD原理介绍

1 经验模态分解EMD原理介绍

1.1 EMD概述

经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）方法是一种自适应信号时频处理方法，特别适用于非线性、非平稳信号的分析处理[1]。其本质是一种对信号进行分解的方法,将信号分解为各个相互独立的成分的叠加,依据数据自身的时间尺度特征来进行信号分解，具备自适应性。

EMD的优点在于它是一种自适应的、数据驱动的分解方法，不需要预先假设信号的分布或结构。这使得它适用于处理各种类型的信号，包括非线性和非平稳信号。

EMD 认为任何一个复杂序列都是由多个单频率信号叠加而成，因此可以分解成若干个 本征模态函数（Intrinsic Mode Functions, IMF），IMF 的各个分量即代表了原始信号中的各频 率分量，并按照从高频到低频的顺序依次排列，这也是 IMF 的物理含义[2]。

1.2 本征模态函数IMF

本征模态函数（Intrinsic Mode Functions, IMF）就是原始信号被 EMD 分解之后得到的各层信号分量。任何信号都可以拆分成若干个 IMF 之和。IMF 有两个假设条件：

• 在整个数据段内，极值点的个数和过零点的个数必须相等或相差最多不能超过一 个；
• 在任意时刻，由局部极大值点形成的上包络线和由局部极小值点形成的下包络线 的平均值为零，即上、下包络线相对于时间轴局部对称。

对于上述的条件理解如下：

第一，图线要反复跨越 x 轴，比如：

反复跨越 x 轴

而不能像下面这样某次穿过零点后出现多个极点：

某次穿过零点后出现多个极点

第二，上下包络线要对称，比如：

上下包络线对称

而不能像如下这样，上下包络线不对称

1.3 EMD 分解的基本假设

• 信号至少有两个极值点：一个极大值点和一个极小值点；
• 特征时间尺度由极值之间的时间间隔定义；
• 如果数据完全没有极值，但只包含拐点，那么可以一次或多次划分来揭示极值点，最终的结果可以通过积分得到

2 EMD分解的基本原理和步骤

EMD的分解过程是一个迭代的过程。首先，对原始信号进行极值点的提取，然后通过连接极值点的均值得到第一轮的近似IMF（也叫做“本征模态”）。接下来，将这个近似IMF从原始信号中减去，得到一个新的信号，然后对这个新信号再次进行极值点提取和均值连接，得到第二轮的近似IMF。如此往复，直到得到的近似IMF满足某种停止准则。

对于原始信号 X(t)

第一步，极值点提取：

从待分解的信号中识别局部极值点，包括局部极大值和局部极小值。极值点是信号中的局部特征，能够帮助刻画信号的振荡特性。

第二步，构建上下包络线：

通过连接相邻的局部极大值和局部极小值，构建信号的上包络线和下包络线。上包络线 U(t) 由局部极大值连接而成，下包络线 L(t) 由局部极小值连接而成。包络线用于描述信号的振荡范围。

第三步，提取均值函数：

计算上包络线和下包络线的平均值，得到均值函数 m1。将原始信号减去均值函数，得到一维信号 h1。

m1 = ( U(t) + L(t) ) / 2

h1 = X(t) - m1

第四步，迭代分解：

对减去均值函数后的一维信号 h1，重复步骤1-3的过程，直到得到的剩余信号为“单调信号”，或者满足IMF的两个假设条件。迭代k次的IMF为

hk = h(k-1) - mk

第五步，确定本征模态函数（IMF）：

在每一次迭代中，通过极值点提取、构建包络线等步骤，得到的剩余信号被称为一个本征模态函数（IMF）。IMF具有局部特征，并且代表了信号在不同尺度上的振荡模式。使用上述方法得到的第一个IMF记为c1, 然后将c1从原始信号中分离，得到

r1 = X(t) - c1

由于r1仍然包含大量信息，因此将r1作为新的原始信号，再通过步骤1-4的分析，可以得到IMF2，以此类推，得到

r1 - c2 = r2,... ..., r(n-1) -cn = rn

当cn或rn小于某一设定值，或者得到的剩余信号为“单调信号”，无法提取更多的IMF时，迭代终止，得到最终的分解结果为：

第六步，重构信号：

将得到的IMF函数进行逐个提取，直到无法再得到新的IMF为止。最终得到的IMF函数可以被看作是信号在不同时间尺度上的振荡模式，它们的组合可以重构原始信号。

这些基本步骤构成了EMD方法的核心流程，通过这些步骤，EMD可以将复杂的信号分解成不同尺度和频率的本征模态函数，从而揭示信号的局部特征和振荡模式。

3 基于Python的EMD实现

在 Python 中，使用 PyEMD 库来实现经验模态分解（EMD）

2.1 代码示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from PyEMD import EMD


# 生成一个示例信号
t = np.linspace(0, 1, 1000)
s = np.sin(11*2*np.pi*t*t) + 6*t*t


# 创建 EMD 对象
emd = EMD()


# 对信号进行经验模态分解
IMFs = emd(s)


# 绘制原始信号和每个本征模态函数（IMF）
plt.figure(figsize=(15,10))
plt.subplot(len(IMFs)+1, 1, 1)
plt.plot(t, s, 'r')
plt.title("Original signal")


for num, imf in enumerate(IMFs):
    plt.subplot(len(IMFs)+1, 1, num+2)
    plt.plot(t, imf)
    plt.title("IMF "+str(num+1))


plt.show()

2.2 轴承故障数据的分解

选择 0.021英寸滚珠故障信号数据来做EMD分解

2.2.1 凯斯西储大学轴承数据的加载

第一步，导入包，读取数据

import numpy as np
from scipy.io import loadmat
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
matplotlib.rc("font", family='Microsoft YaHei')


# 读取MAT文件
data = loadmat('21_2.mat') # 0.021英寸 滚珠
# 注意，读取出来的data是字典格式，可以通过函数type(data)查看。

第二步，数据集中读取 驱动端加速度数据，取一个长度为1024的信号进行后续观察和实验

# DE - drive end accelerometer data 驱动端加速度数据
data_list = data['X222_DE_time'].reshape(-1)
# 划窗取值（大多数窗口大小为1024）
data_list = data_list3[0:1024]
#  进行数据可视化
plt.figure(figsize=(20,10))
plt.plot(data_list)
plt.title("滚珠")
plt.show()

2.2.2 滚珠故障信号EMD分解

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from PyEMD import EMD


t = np.linspace(0, 1, 1024)
data = np.array(data_list)
# 创建 EMD 对象
emd = EMD()


# 对信号进行经验模态分解
IMFs = emd(data)


# 绘制原始信号和每个本征模态函数（IMF）
plt.figure(figsize=(15,10))
plt.subplot(len(IMFs)+1, 1, 1)
plt.plot(t, data, 'r')
plt.title("Original signal", fontsize=10)


for num, imf in enumerate(IMFs):
    plt.subplot(len(IMFs)+1, 1, num+2)
    plt.plot(t, imf)
    plt.title("IMF "+str(num+1), fontsize=10)
    # 增加第一排图和第二排图之间的垂直间距
plt.subplots_adjust(hspace=0.4, wspace=0.2)
plt.show()

2.3 信号分量的处理

通过经验模态分解（EMD）得到了信号的分量，可以进行许多不同的分析和处理操作，以下是一些常见的对分量的利用方向：

（1）信号重构：将分解得到的各个本征模态函数（IMF）相加，可以重构原始信号。这可以用于验证分解的效果，或者用于信号的重建和恢复。

（2）去噪：对于复杂的信号，可能存在噪声或干扰成分。通过分析各个IMF的频率和振幅，可以识别和去除信号中的噪声成分。

（3）频率分析：分析每个IMF的频率成分，可以帮助理解信号在不同频率上的振荡特性，从而揭示信号的频域特征。

（4）特征提取：每个IMF代表了信号的局部特征和振荡模式，可以用于提取信号的特征，并进一步应用于机器学习或模式识别任务中。

（5）信号预测：通过对分解得到的各个IMF进行分析，可以探索信号的未来趋势和发展模式，从而用于信号的预测和预测建模。

（6）模式识别：分析每个IMF的时域和频域特征，可以帮助对信号进行模式识别和分类，用于识别信号中的不同模式和特征。

（7）异常检测：通过分析每个IMF的振幅和频率特征，可以用于探测信号中的异常或突发事件，从而用于异常检测和故障诊断。

在得到了信号的分量之后，可以根据具体的应用需求选择合适的分析和处理方法，以实现对信号的深入理解、特征提取和应用。对于后续的研究，主要利用IMF分类来对故障信号做模式识别，即故障分类。