如何区分fir与iir的系统函数

在数字信号处理领域，FIR（有限冲激响应）和IIR（无限冲激响应）滤波器是两种常见的滤波器类型。它们在设计、性能和应用方面具有显著差异。

1. 定义

1.1 FIR滤波器

FIR（Finite Impulse Response）滤波器是一种线性时不变（LTI）系统，其输出信号是输入信号的有限长度冲激响应的线性组合。FIR滤波器的系统函数可以表示为：

H(z) = b0 + b1z^(-1) + b2z^(-2) + ... + bN*z^(-N)

其中，b0, b1, ..., bN是滤波器的系数，N是滤波器的长度，z是Z变换的单位根。

1.2 IIR滤波器

IIR（Infinite Impulse Response）滤波器也是一种线性时不变（LTI）系统，但其输出信号是输入信号的无限长度冲激响应的线性组合。IIR滤波器的系统函数可以表示为：

H(z) = (a0 + a1z^(-1) + a2z^(-2) + ... + aMz^(-M)) / (1 + aM+1z^(-1) + aM+2z^(-2) + ... + aNz^(-N))

其中，a0, a1, ..., aM是分子系数，aM+1, aM+2, ..., aN是分母系数，M和N分别表示分子和分母的长度。

2. 特点

2.1 FIR滤波器的特点

2.1.1 稳定性

FIR滤波器具有固有的稳定性，因为其分母始终为1，不会引入极点。这意味着FIR滤波器不会发生振荡或不稳定的现象。

2.1.2 线性相位

FIR滤波器可以设计为具有线性相位特性，即输出信号的相位与输入信号的频率成线性关系。这使得FIR滤波器在处理信号时不会引入相位失真。

2.1.3 易于设计

FIR滤波器的设计相对简单，可以通过窗函数法、频率采样法等方法实现。这些方法可以直观地控制滤波器的频率响应特性。

2.1.4 灵活性

FIR滤波器具有较高的灵活性，可以通过调整滤波器的长度和系数来实现不同的滤波效果。

2.2 IIR滤波器的特点

2.2.1 稳定性

IIR滤波器的稳定性取决于其极点的位置。如果所有极点都位于单位圆内，则IIR滤波器是稳定的。然而，IIR滤波器的设计需要考虑极点的位置，以确保系统的稳定性。

2.2.2 非线性相位

IIR滤波器通常具有非线性相位特性，即输出信号的相位与输入信号的频率不成线性关系。这可能导致信号在处理过程中产生相位失真。

2.2.3 设计复杂性

IIR滤波器的设计相对复杂，需要考虑极点和零点的位置，以实现所需的频率响应特性。常用的设计方法包括脉冲响应法、双线性变换法等。

2.2.4 高通滤波特性

IIR滤波器在实现高通滤波器时具有优势，因为它们可以在较低的滤波器阶数下实现较高的截止频率。

3. 设计方法

3.1 FIR滤波器的设计方法

3.1.1 窗函数法

窗函数法是一种常用的FIR滤波器设计方法。首先确定滤波器的理想频率响应，然后通过窗函数对其进行加权，以控制滤波器的过渡带特性。常用的窗函数包括汉明窗、汉宁窗、布莱克曼窗等。

3.1.2 频率采样法

频率采样法通过在理想频率响应的特定频率点上进行采样，然后通过插值方法得到滤波器的系数。这种方法适用于实现带通、带阻等滤波器。

3.1.3 最小二乘法

最小二乘法通过最小化滤波器系数与理想频率响应之间的误差来设计FIR滤波器。这种方法可以用于实现各种类型的滤波器，但计算复杂度较高。