热物性拟合中的敏感度分析

一

热物性敏感度介绍

热物性敏感度分析（Sensitivity Analysis）用于确定系统或模型对输入参数或待拟合参数变化的敏感程度。热物性敏感度分析主要作用包括识别关键因素、提高模型可靠性、不确定性评估、模型简化等。以时域热反射（TDTR）系统为例，影响敏感度的主要因素包括激光功率、激光光斑尺寸、调制频率以及样品的各项热物性参数。敏感度一般推荐是在样品制备之前进行，根据热物性敏感度分析的结果来设计样品和选择实验参数有利于拟合模型得出更加可靠的结果。

除此之外，热物性敏感度分析还可以被用作模型简化：通过识别不重要的变量，热物性敏感度分析可以帮助简化模型，减少计算复杂度和成本，同时保持模型的准确性。

二

热物性敏感度的公式及相关参数

下面我们以时域热反射（Time-Domain Thermoreflectance, TDTR）系统的敏感度分析为例，来理解敏感度分析的具体情况，敏感度的定义为：

其中 x 是模型参数，Y 为锁相放大器信号， Sx 为信号对该模型参数x的敏感度，之所以使用对数形式是因为根据对数函数求导规则

这样就可以消除信号自身强度对敏感度的影响，使得各个参数的敏感度可以进行横向比较。

在TDTR，FDTR，SDTR中，可以用来拟合的锁相放大器信号（Y信号）包括信号的幅值，相位、相位差、Vin、Vout、或整个复数信号Z。

时域热反射技术（TDTR）中常用幅值信号、相位、有时也会使用复数信号随延迟量的变化曲线进行拟合。频域热反射技术（Frequency-Domain Thermoreflectance, FDTR）一般使用相位信号随频率的变化曲线进行拟合。传统的空间域热反射技术（Spatial-Domain Thermoreflectance, FDTR）使用相位信号随空间扫描位置坐标的变化曲线进行拟合，但这种方法存在相位差校准引入的误差。昊远精测公司WildFire-ONE 热导率测量仪改进了传统的空间域热反射技术（SDTR），采用扫描位置与双光斑重合位置的相位差随扫描位置坐标的变化曲线作为拟合信号，同时使用了振幅信号随位置坐标的变化曲线作为等效光斑尺寸的拟合信号。同时解决了相位矫正和光斑输入的误差，极大的提高了SDTR技术的准确性和可靠性。

时域热反射技术（TDTR）中的参数包括，飞秒脉冲激光的重复频率、等效光斑直径、调制频率、各层厚度、各层各向热导率、各层热容、各层界面热阻（热导）等。其他系统的基本类似。

三

热物性分析软件Thermo-Mind敏感度分析功能的用法

昊远精测热物性分析系统平台软件Thermo-Mind提供方便快捷的敏感度分析功能，可以极大的助力实验进程高效的进行以及得到优质的实验数据。下面我们以TDTR系统为例介绍一下热物性分析软件Thermo-Mind的敏感度分析的一些使用场景：

1，在制样之前，客户首先要大致规划样品的结构，并估算样品的参数的数值。在这个阶段，我们就推荐客户对各参数进行敏感度分析，并根据敏感度分析的结果对初步的样品结构以及部分参数（譬如样品各层厚度）进行优化调整。

绝大多数热物性测量（包括TDTR、FDTR、SDTR、3OMEGA谐波法等）都是基于模型拟合的方式进行测量的。在拟合过程中，如果将有过多的参数设为待拟合参数，往往效果不佳甚至出现明显错误的结果。所以在规划实验阶段，首先就要先确定哪些参数为输入参数（已知参数），哪些为待拟合参数（未知参数）。此时推荐进行敏感度分析对样品结构设计进行优化，优化的原则是：输入参数敏感度越小越好，待拟合参数敏感度越大越好。输入参数敏感度小会降低实验结果对输入参数误差的依赖性，提高系统拟合结果的可靠性。待拟合参数敏感度越大则会增加待测参数拟合的精度。

2，在样品制备完成之后，一般是通过更改调制频率来调控各参数的敏感度的。调制频率和热场的穿透深度直接相关，热穿透深度公式为：

从上式可以看出，对于任意样品，都有调制频率越高穿透深度越浅，调制频率越低，穿透深度越深。不论是各光热反射方法还是3Omega谐波测温法都是通过样品表面温度的变化来计算相关模型输出信号的。不同穿透深度会更多的携带其穿透深度内的信息到达表面温度场。所以控制不同的穿透深度对测量结果有着至关重要的作用。Thermo-Mind软件敏感度分析功能可以针对不同的样品结构帮助客户锁定最优的调制频率。

3，在实际TDTR测量中，很多时候会存在这样的现象（以下以两个参数拟合的过程为例），即在某个频率下待测参数A的敏感度非常低，同时待测参数B的敏感度较高；在另外一个频率下，待测参数A的敏感度较高，同时待测参数B的敏感度非常低。如果经过敏感度分析发现样品的确存在这种现象，则可以选择先在第1个频率处把B参数固定在某个数值上，仅对A参数进行拟合。第二步再在第二个频率下，把第1步拟合出的参数A当成输入参数，对参数B进行拟合。此后再将第二步得到的参数B带入第1个频率下的数据进行拟合，如此迭代可以极大的提高测量的准确性和可靠性。

值得一提的是，昊远精测最新版的Thermo-Mind-TDTR软件增加了多频拟合功能，客户可以根据敏感度分析的结果对多个最优频率进行整体拟合，从而方便快捷的得到可靠的测量结果。

此外昊远精测提供各种专业热物性测试服务，服务之前我们都会对您的样品进行详尽的敏感度分析，和您共同制定优化的测试方案，以期得到准确和可靠的结果。欢迎大家咨询联系。